三角学示例

$\frac{13 x + 2}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{B}{3 x + 1}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(3 x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{(13 x + 2) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

解题步骤 1.4

约去 ${(3 x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(13 x + 2) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

解题步骤 1.4.2

用 $13 x + 2$ 除以 $1$ 。

$13 x + 2 = \frac{(A) {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

约去 ${(3 x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1.1

约去公因数。

$13 x + 2 = \frac{A {(3 x + 1)}^{2}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

解题步骤 1.5.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$13 x + 2 = A + \frac{(B) {(3 x + 1)}^{2}}{3 x + 1}$

解题步骤 1.5.2

约去 ${(3 x + 1)}^{2}$ 和 $3 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $(B) {(3 x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $3 x + 1$ 。

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{3 x + 1}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1

乘以 $1$ 。

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{(3 x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去公因数。

$13 x + 2 = A + \frac{(3 x + 1) (B (3 x + 1))}{(3 x + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2.2.3

重写表达式。

$13 x + 2 = A + \frac{B (3 x + 1)}{1}$

解题步骤 1.5.2.2.4

用 $B (3 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$13 x + 2 = A + B (3 x + 1)$

解题步骤 1.5.3

运用分配律。

$13 x + 2 = A + B (3 x) + B \cdot 1$

解题步骤 1.5.4

使用乘法的交换性质重写。

$13 x + 2 = A + 3 B x + B \cdot 1$

解题步骤 1.5.5

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$13 x + 2 = A + 3 B x + B$

解题步骤 1.6

化简表达式。

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解题步骤 1.6.1

移动 $B$ 。

$13 x + 2 = A + 3 x B + B$

解题步骤 1.6.2

将 $A$ 和 $3 x B$ 重新排序。

$13 x + 2 = 3 x B + A + B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$13 = 3 B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$2 = A + B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$13 = 3 B$

$2 = A + B$

$13 = 3 B$

$2 = A + B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $13 = 3 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $3 B = 13$ 。

$3 B = 13$

$2 = A + B$

解题步骤 3.1.2

将 $3 B = 13$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $3 B = 13$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 B}{3} = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 B}{3} = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{13}{3}$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $\frac{13}{3}$ 替换 $2 = A + B$ 中所有出现的 $B$ .

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$2 = A + \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.3

在 $2 = A + \frac{13}{3}$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $A + \frac{13}{3} = 2$ 。

$A + \frac{13}{3} = 2$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{13}{3}$ 。

$A = 2 - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$A = 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$A = \frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$A = \frac{2 \cdot 3 - 13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.5.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$A = \frac{6 - 13}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.3.2.5.2

从 $6$ 中减去 $13$ 。

$A = \frac{- 7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = \frac{- 7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

$A = - \frac{7}{3}$

$B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.4

求解方程组。

$A = - \frac{7}{3} B = \frac{13}{3}$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = - \frac{7}{3}, B = \frac{13}{3}$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{B}{3 x + 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{7}{3}}{{(3 x + 1)}^{2}} + \frac{\frac{13}{3}}{3 x + 1}$

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