三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = c = & 12 a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 B = C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

求三角形的最后一个角。

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解题步骤 1.1

三角形中所有角的和是

180

$180$ 度。

30 + 90 + B = 180

$30 + 90 + B = 180$

解题步骤 1.2

求解

B

$B$ 的方程。

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解题步骤 1.2.1

将

30

$30$ 和

90

$90$ 相加。

120 + B = 180

$120 + B = 180$

解题步骤 1.2.2

将所有不包含

B

$B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.2.1

从等式两边同时减去

120

$120$ 。

B = 180 - 120

$B = 180 - 120$

解题步骤 1.2.2.2

从

180

$180$ 中减去

120

$120$ 。

B = 60

$B = 60$

B = 60

$B = 60$

B = 60

$B = 60$

B = 60

$B = 60$

解题步骤 2

求

b

$b$ 。

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解题步骤 2.1

角的余弦等于邻边和斜边之比。

cos (A) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 2.2

将每一边的名字代入余弦函数的定义中。

cos (A) = \frac{b}{c}

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

解题步骤 2.3

建立方程式以求解邻边，在本例中为

b

$b$ 。

b = c \cdot cos (A)

$b = c \cdot \cos (A)$

解题步骤 2.4

将每一个变量的值代入余弦公式。

b = 12 \cdot cos (30)

$b = 12 \cdot \cos (30)$

解题步骤 2.5

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

从

12

$12$ 中分解出因数

2

$2$ 。

b = 2 (6) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

$b = 2 (6) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

$b = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 2.5.3

重写表达式。

$b = 6 \cdot \sqrt{3}$

$b = 6 \sqrt{3}$

解题步骤 3

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 3.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 3.2

求解

$a$ 的方程。

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

解题步骤 3.3

将实际值代入方程中。

$a = \sqrt{{(12)}^{2} - {(6 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

对

$12$ 进行

$2$ 次方运算。

$a = \sqrt{144 - {(6 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

对

$6 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{144 - (6^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

解题步骤 3.4.3

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$a = \sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}$

解题步骤 3.5

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 3.5.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$a = \sqrt{144 - (36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 3.5.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 3.5.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 3.5.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.1

约去公因数。

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 3.5.4.2

重写表达式。

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

解题步骤 3.5.5

计算指数。

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

解题步骤 3.6

乘以

$- (36 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 3.6.1

将

$36$ 乘以

$3$ 。

$a = \sqrt{144 - 1 \cdot 108}$

解题步骤 3.6.2

将

$- 1$ 乘以

$108$ 。

$a = \sqrt{144 - 108}$

解题步骤 3.7

从

$144$ 中减去

$108$ 。

$a = \sqrt{36}$

解题步骤 3.8

将

$36$ 重写为

$6^{2}$ 。

$a = \sqrt{6^{2}}$

解题步骤 3.9

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = 6$

解题步骤 4

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$

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