三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = c = a = & 3 \sqrt{3} \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 B = & 60 C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 3 \sqrt{3} \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

求

c

$c$ 。

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解题步骤 1.1

角的余弦等于邻边和斜边之比。

cos (B) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 1.2

将每一边的名字代入余弦函数的定义中。

cos (B) = \frac{a}{c}

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

解题步骤 1.3

建立一个方程以求解斜边，在本例中，即

c

$c$ 。

c = \frac{a}{cos (B)}

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

解题步骤 1.4

将每一个变量的值代入余弦公式。

c = \frac{3 \sqrt{3}}{cos (60)}

$c = \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (60)}$

解题步骤 1.5

cos (60)

$\cos (60)$ 的值为

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

c = \frac{3 \sqrt{3}}{\frac{1}{2}}

$c = \frac{3 \sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.6

将分子乘以分母的倒数。

c = 3 \sqrt{3} \cdot 2

$c = 3 \sqrt{3} \cdot 2$

解题步骤 1.7

将

2

$2$ 乘以

3

$3$ 。

c = 6 \sqrt{3}

$c = 6 \sqrt{3}$

c = 6 \sqrt{3}

$c = 6 \sqrt{3}$

解题步骤 2

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 2.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

a^{2} + b^{2} = c^{2}

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 2.2

求解

b

$b$ 的方程。

b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

解题步骤 2.3

将实际值代入方程中。

b = \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}

$b = \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

对

6 \sqrt{3}

$6 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

b = \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}

$b = \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对

6

$6$ 进行

2

$2$ 次方运算。

b = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}

$b = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

b = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}

$b = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

3

$3$ 。

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解题步骤 2.5.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ 重写成

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

b = \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}

$b = \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

运用幂法则并将指数相乘，

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

b = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}

$b = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

2

$2$ 。

b = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}

$b = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5.4

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$b = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

$b = \sqrt{36 \cdot 3 - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.5.5

计算指数。

$b = \sqrt{36 \cdot 3 - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将

$36$ 乘以

$3$ 。

$b = \sqrt{108 - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

对

$3 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$b = \sqrt{108 - (3^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

解题步骤 2.6.3

对

$3$ 进行

$2$ 次方运算。

$b = \sqrt{108 - (9 {\sqrt{3}}^{2})}$

解题步骤 2.7

将

${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为

$3$ 。

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解题步骤 2.7.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{3}$ 重写成

$3^{\frac{1}{2}}$ 。

$b = \sqrt{108 - (9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

解题步骤 2.7.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

解题步骤 2.7.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.7.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1

约去公因数。

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

解题步骤 2.7.4.2

重写表达式。

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3)}$

解题步骤 2.7.5

计算指数。

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3)}$

解题步骤 2.8

乘以

$- (9 \cdot 3)$ 。

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解题步骤 2.8.1

将

$9$ 乘以

$3$ 。

$b = \sqrt{108 - 1 \cdot 27}$

解题步骤 2.8.2

将

$- 1$ 乘以

$27$ 。

$b = \sqrt{108 - 27}$

解题步骤 2.9

从

$108$ 中减去

$27$ 。

$b = \sqrt{81}$

解题步骤 2.10

将

$81$ 重写为

$9^{2}$ 。

$b = \sqrt{9^{2}}$

解题步骤 2.11

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$b = 9$

解题步骤 3

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 3 \sqrt{3}$

$b = 9$

$c = 6 \sqrt{3}$

三角学 示例

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