三角学示例

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$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 8 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 45 \\ B = & 45 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

求

$c$ 。

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解题步骤 1.1

角的余弦等于邻边和斜边之比。

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 1.2

将每一边的名字代入余弦函数的定义中。

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

解题步骤 1.3

建立一个方程以求解斜边，在本例中，即

$c$ 。

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

解题步骤 1.4

将每一个变量的值代入余弦公式。

$c = \frac{8}{\cos (45)}$

解题步骤 1.5

$\cos (45)$ 的值为

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$c = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

解题步骤 1.6

将分子乘以分母的倒数。

$c = 8 (\frac{2}{\sqrt{2}})$

解题步骤 1.7

将

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$c = 8 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 1.8

合并和化简分母。

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解题步骤 1.8.1

将

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 1.8.2

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 1.8.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 1.8.4

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

解题步骤 1.8.5

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

解题步骤 1.8.6

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 1.8.6.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 1.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 1.8.6.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 1.8.6.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.6.4.1

约去公因数。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 1.8.6.4.2

重写表达式。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.8.6.5

计算指数。

$c = 8 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.9

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1

从

$8$ 中分解出因数

$2$ 。

$c = 2 (4) (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1.9.2

约去公因数。

$c = 2 \cdot (4 (\frac{2 \sqrt{2}}{2}))$

解题步骤 1.9.3

重写表达式。

$c = 4 (2 \sqrt{2})$

解题步骤 1.10

将

$2$ 乘以

$4$ 。

$c = 8 \sqrt{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 2.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 2.2

求解

$b$ 的方程。

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

解题步骤 2.3

将实际值代入方程中。

$b = \sqrt{{(8 \sqrt{2})}^{2} - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

对

$8 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$b = \sqrt{8^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对

$8$ 进行

$2$ 次方运算。

$b = \sqrt{64 {\sqrt{2}}^{2} - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 2.5.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$b = \sqrt{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$b = \sqrt{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$b = \sqrt{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$b = \sqrt{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

$b = \sqrt{64 \cdot 2 - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.5.5

计算指数。

$b = \sqrt{64 \cdot 2 - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将

$64$ 乘以

$2$ 。

$b = \sqrt{128 - {(8)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

对

$8$ 进行

$2$ 次方运算。

$b = \sqrt{128 - 1 \cdot 64}$

解题步骤 2.6.3

将

$- 1$ 乘以

$64$ 。

$b = \sqrt{128 - 64}$

解题步骤 2.6.4

从

$128$ 中减去

$64$ 。

$b = \sqrt{64}$

解题步骤 2.6.5

将

$64$ 重写为

$8^{2}$ 。

$b = \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 2.6.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$b = 8$

解题步骤 3

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 45$

$B = 45$

$C = 90$

$a = 8$

$b = 8$

$c = 8 \sqrt{2}$

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