三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 10 \\ c = \\ a = & 5 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

假设该角 $C = 90$ 。

$C = 90$

解题步骤 2

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 2.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 2.2

求解 $c$ 的方程。

$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}}$

解题步骤 2.3

将实际值代入方程中。

$c = \sqrt{{(10)}^{2} + {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{100 + {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{100 + 25}$

解题步骤 2.6

将 $100$ 和 $25$ 相加。

$c = \sqrt{125}$

解题步骤 2.7

将 $125$ 重写为 $5^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 2.7.1

从 $125$ 中分解出因数 $25$ 。

$c = \sqrt{25 (5)}$

解题步骤 2.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$c = \sqrt{5^{2} \cdot 5}$

解题步骤 2.8

从根式下提出各项。

$c = 5 \sqrt{5}$

解题步骤 3

求 $B$ 。

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解题步骤 3.1

该角 $B$ 可利用逆正弦函数求得。

$B = \arcsin (\frac{opp}{hyp})$

解题步骤 3.2

代入三角形的角 $B$ 的对边值和斜边 $5 \sqrt{5}$ 值。

$B = \arcsin (\frac{10}{5 \sqrt{5}})$

解题步骤 3.3

约去 $10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$B = \arcsin (\frac{5 \cdot 2}{5 \sqrt{5}})$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $5 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $5$ 。

$B = \arcsin (\frac{5 \cdot 2}{5 (\sqrt{5})})$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

$B = \arcsin (\frac{5 \cdot 2}{5 \sqrt{5}})$

解题步骤 3.3.2.3

重写表达式。

$B = \arcsin (\frac{2}{\sqrt{5}})$

解题步骤 3.4

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$B = \arcsin (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 3.5

合并和化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

解题步骤 3.5.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

解题步骤 3.5.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

解题步骤 3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

解题步骤 3.5.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 3.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 3.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 3.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 3.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.6.4.1

约去公因数。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 3.5.6.4.2

重写表达式。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 3.5.6.5

计算指数。

$B = \arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 3.6

计算 $\arcsin (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 。

$B = 63.43494882$

解题步骤 4

求三角形的最后一个角。

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解题步骤 4.1

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 90 + 63.43494882 = 180$

解题步骤 4.2

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 4.2.1

将 $90$ 和 $63.43494882$ 相加。

$A + 153.43494882 = 180$

解题步骤 4.2.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.2.1

从等式两边同时减去 $153.43494882$ 。

$A = 180 - 153.43494882$

解题步骤 4.2.2.2

从 $180$ 中减去 $153.43494882$ 。

$A = 26.56505117$

解题步骤 5

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 26.56505117$

$B = 63.43494882$

$C = 90$

$a = 5$

$b = 10$

$c = 5 \sqrt{5}$

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