三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 10 \\ c = \\ a = & 4 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 1.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 1.2

求解 $c$ 的方程。

$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}}$

解题步骤 1.3

将实际值代入方程中。

$c = \sqrt{{(10)}^{2} + {(4)}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{100 + {(4)}^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{100 + 16}$

解题步骤 1.6

将 $100$ 和 $16$ 相加。

$c = \sqrt{116}$

解题步骤 1.7

将 $116$ 重写为 $2^{2} \cdot 29$ 。

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解题步骤 1.7.1

从 $116$ 中分解出因数 $4$ 。

$c = \sqrt{4 (29)}$

解题步骤 1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$c = \sqrt{2^{2} \cdot 29}$

解题步骤 1.8

从根式下提出各项。

$c = 2 \sqrt{29}$

解题步骤 2

求 $B$ 。

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解题步骤 2.1

该角 $B$ 可利用逆正弦函数求得。

$B = \arcsin (\frac{opp}{hyp})$

解题步骤 2.2

代入三角形的角 $B$ 的对边值和斜边 $2 \sqrt{29}$ 值。

$B = \arcsin (\frac{10}{2 \sqrt{29}})$

解题步骤 2.3

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$B = \arcsin (\frac{2 \cdot 5}{2 \sqrt{29}})$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

从 $2 \sqrt{29}$ 中分解出因数 $2$ 。

$B = \arcsin (\frac{2 \cdot 5}{2 (\sqrt{29})})$

解题步骤 2.3.2.2

约去公因数。

$B = \arcsin (\frac{2 \cdot 5}{2 \sqrt{29}})$

解题步骤 2.3.2.3

重写表达式。

$B = \arcsin (\frac{5}{\sqrt{29}})$

解题步骤 2.4

将 $\frac{5}{\sqrt{29}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ 。

$B = \arcsin (\frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}})$

解题步骤 2.5

合并和化简分母。

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解题步骤 2.5.1

将 $\frac{5}{\sqrt{29}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ 。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}})$

解题步骤 2.5.2

对 $\sqrt{29}$ 进行 $1$ 次方运算。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}})$

解题步骤 2.5.3

对 $\sqrt{29}$ 进行 $1$ 次方运算。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}})$

解题步骤 2.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}})$

解题步骤 2.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}})$

解题步骤 2.5.6

将 ${\sqrt{29}}^{2}$ 重写为 $29$ 。

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解题步骤 2.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{29}$ 重写成 $29^{\frac{1}{2}}$ 。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 2.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 2.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.6.4.1

约去公因数。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 2.5.6.4.2

重写表达式。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

解题步骤 2.5.6.5

计算指数。

$B = \arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

解题步骤 2.6

计算 $\arcsin (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$ 。

$B = 68.19859051$

解题步骤 3

求三角形的最后一个角。

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解题步骤 3.1

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 90 + 68.19859051 = 180$

解题步骤 3.2

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

将 $90$ 和 $68.19859051$ 相加。

$A + 158.19859051 = 180$

解题步骤 3.2.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.2.1

从等式两边同时减去 $158.19859051$ 。

$A = 180 - 158.19859051$

解题步骤 3.2.2.2

从 $180$ 中减去 $158.19859051$ 。

$A = 21.80140948$

解题步骤 4

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 21.80140948$

$B = 68.19859051$

$C = 90$

$a = 4$

$b = 10$

$c = 2 \sqrt{29}$

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