三角学示例

$\sin (4 x) \cos (x) - \sin (x) \cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π)$

解题步骤 1

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

求在区间 $[0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 2.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

从 $2 π (0)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2.4

用 $2 π \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$\frac{5 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

解题步骤 2.1.2.1.2

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 π}{12} + 0 π$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{5 π}{12} + 0$

解题步骤 2.1.2.2

将 $\frac{5 π}{12}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 π}{12}$

解题步骤 2.1.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{5 π}{12}$ 。

$x = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 2.2

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 2.2.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

从 $2 π (0)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.4

用 $2 π \cdot (0)$ 除以 $1$ 。

$\frac{7 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

解题步骤 2.2.2.1.2

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7 π}{12} + 0 π$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{7 π}{12} + 0$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{7 π}{12}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 π}{12}$

解题步骤 2.2.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{7 π}{12}$ 。

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}$

解题步骤 2.3

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 2.3.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

解题步骤 2.3.2

化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.3.2.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{12}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 π + 8 π}{12}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $5 π$ 和 $8 π$ 相加。

$\frac{13 π}{12}$

解题步骤 2.3.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{13 π}{12}$ 。

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

解题步骤 2.4

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

解题步骤 2.4.2

化简。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

解题步骤 2.4.2.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.4.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 2.4.2.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

解题步骤 2.4.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{7 π + 2 π \cdot 4}{12}$

解题步骤 2.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.5.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7 π + 8 π}{12}$

解题步骤 2.4.2.5.2

将 $7 π$ 和 $8 π$ 相加。

$\frac{15 π}{12}$

解题步骤 2.4.2.6

约去 $15$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.6.1

从 $15 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5 π)}{12}$

解题步骤 2.4.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.6.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5 π)}{3 (4)}$

解题步骤 2.4.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (5 π)}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{5 π}{4}$

解题步骤 2.4.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{5 π}{4}$ 。

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 2.5

将 $2$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 代入 $n$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

解题步骤 2.5.2

化简。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 2.5.2.2

要将 $\frac{4 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.5.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 2.5.2.3.1

将 $\frac{4 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

解题步骤 2.5.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{12}$

解题步骤 2.5.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.5.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{5 π + 16 π}{12}$

解题步骤 2.5.2.5.2

将 $5 π$ 和 $16 π$ 相加。

$\frac{21 π}{12}$

解题步骤 2.5.2.6

约去 $21$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.6.1

从 $21 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (7 π)}{12}$

解题步骤 2.5.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.2.6.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (7 π)}{3 (4)}$

解题步骤 2.5.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (7 π)}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.5.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 2.5.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{7 π}{4}$ 。

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

解题步骤 2.6

将 $2$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 代入 $n$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

解题步骤 2.6.2

化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

解题步骤 2.6.2.2

要将 $\frac{4 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.6.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 2.6.2.3.1

将 $\frac{4 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

解题步骤 2.6.2.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

解题步骤 2.6.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{7 π + 4 π \cdot 4}{12}$

解题步骤 2.6.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.5.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{7 π + 16 π}{12}$

解题步骤 2.6.2.5.2

将 $7 π$ 和 $16 π$ 相加。

$\frac{23 π}{12}$

解题步骤 2.6.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{23 π}{12}$ 。

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{23 π}{12}$

解题步骤 3

三角学 示例

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