三角学示例

$\cos (2 θ) + \cos (θ) = 0$ , $0 \leq θ \leq 360$

解题步骤 1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$2 \cos^{2} (θ) - 1 + \cos (θ) = 0$

解题步骤 2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

重新排序项。

$2 \cos^{2} (θ) + \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

乘以 $1$ 。

$2 \cos^{2} (θ) + 1 \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 2.2.2

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$2 \cos^{2} (θ) + (- 1 + 2) \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 \cos^{2} (θ) - 1 \cos (θ) + 2 \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\cos (θ) (2 \cos (θ) - 1) + 1 (2 \cos (θ) - 1) = 0$

解题步骤 2.4

通过因式分解出最大公因数 $2 \cos (θ) - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

$\cos (θ) + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $2 \cos (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $2 \cos (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (θ) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $2 \cos (θ) - 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \cos (θ) = 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2 \cos (θ) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

将 $2 \cos (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $60$ 。

$θ = 60$

解题步骤 4.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 360 - 60$

解题步骤 4.2.6

从 $360$ 中减去 $60$ 。

$θ = 300$

解题步骤 4.2.7

求 $\cos (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 4.2.8

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\cos (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $\cos (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (θ) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $\cos (θ) + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (θ) = - 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (- 1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $180$ 。

$θ = 180$

解题步骤 5.2.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$θ = 360 - 180$

解题步骤 5.2.5

从 $360$ 中减去 $180$ 。

$θ = 180$

解题步骤 5.2.6

求 $\cos (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 5.2.7

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$θ = 180 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $(2 \cos (θ) - 1) (\cos (θ) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n, 180 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$θ = 60 + 120 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

求在区间 $[0, 360]$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 360]$ 中。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$60 + 120 (0)$

解题步骤 8.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.2.1

将 $120$ 乘以 $0$ 。

$60 + 0$

解题步骤 8.1.2.2

将 $60$ 和 $0$ 相加。

$60$

解题步骤 8.1.3

区间 $[0, 360]$ 包含 $60$ 。

$θ = 60$

解题步骤 8.2

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 360]$ 中。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$60 + 120 (1)$

解题步骤 8.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.2.1

将 $120$ 乘以 $1$ 。

$60 + 120$

解题步骤 8.2.2.2

将 $60$ 和 $120$ 相加。

$180$

解题步骤 8.2.3

区间 $[0, 360]$ 包含 $180$ 。

$θ = 60, 180$

解题步骤 8.3

将 $2$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 360]$ 中。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.1

将 $2$ 代入 $n$ 。

$60 + 120 (2)$

解题步骤 8.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.3.2.1

将 $120$ 乘以 $2$ 。

$60 + 240$

解题步骤 8.3.2.2

将 $60$ 和 $240$ 相加。

$300$

解题步骤 8.3.3

区间 $[0, 360]$ 包含 $300$ 。

$θ = 60, 180, 300$

三角学 示例

三角学示例