三角学示例

$2 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) + 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \sin (θ)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (θ)$ 。

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- 3 u$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

把 $- 3$ 重写为 $- 1$ 加 $- 2$

$2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u - 1) - (2 u - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 1) (u - 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $2 \sin (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 \sin (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $θ$ 的 $2 \sin (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \sin (θ) = 1$

解题步骤 3.2.2

将 $2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 \sin (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.6

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.6.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 3.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.6.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

解题步骤 3.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 3.2.7

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.8

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\sin (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin (θ) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (θ) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $\sin (θ) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sin (θ) = 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 4.2.5.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.7

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

求在区间 $[0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 6.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 6.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

解题步骤 6.1.2

化简。

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解题步骤 6.1.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{6} + 0 π$

解题步骤 6.1.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{π}{6} + 0$

解题步骤 6.1.2.2

将 $\frac{π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{6}$

解题步骤 6.1.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{6}$ 。

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 6.2

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 6.2.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{2} + 0 π$

解题步骤 6.2.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{π}{2} + 0$

解题步骤 6.2.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}$

解题步骤 6.3

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 6.3.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

解题步骤 6.3.2

化简。

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解题步骤 6.3.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 6.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

解题步骤 6.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{5 π}{6} + 0$

解题步骤 6.3.2.2

将 $\frac{5 π}{6}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 π}{6}$

解题步骤 6.3.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{5 π}{6}$ 。

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}$

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