三角学示例

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ 写为等式。

$y = 2^{x - 1} + 1$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2^{y - 1} + 1$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2^{y - 1} + 1 = x$ 。

$2^{y - 1} + 1 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2^{y - 1} = x - 1$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

解题步骤 3.4

通过将 $y - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{y - 1})$ 。

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

解题步骤 3.5

化简左边。

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解题步骤 3.5.1

化简 $(y - 1) \ln (2)$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

运用分配律。

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 1 \ln (2)$ 重写为 $- \ln (2)$ 。

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

解题步骤 3.6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

解题步骤 3.7

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.7.1

在等式两边都加上 $\ln (2)$ 。

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $\ln (x - 1)$ 。

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

解题步骤 3.8

将 $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ 中的每一项除以 $\ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 3.8.1

将 $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ 中的每一项都除以 $\ln (2)$ 。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

解题步骤 3.8.2

化简左边。

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解题步骤 3.8.2.1

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

解题步骤 3.8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

解题步骤 3.8.3

化简右边。

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解题步骤 3.8.3.1

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

解题步骤 3.8.3.1.2

重写表达式。

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ 是否为 $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ 。

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

解题步骤 5.2.3

合并 $1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $2^{x - 1}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

通过将 $x - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{x - 1})$ 。

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

解题步骤 5.2.4.2

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

解题步骤 5.2.4.2.2

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

解题步骤 5.2.5

合并 $1 + x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

解题步骤 5.2.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ 。

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

解题步骤 5.3.3

合并 $2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

解题步骤 5.3.3.2

将 $0$ 和 $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ 相加。

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

解题步骤 5.3.4

化简每一项。

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解题步骤 5.3.4.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

解题步骤 5.3.4.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

解题步骤 5.3.5

合并 $x - 1 + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.5.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

解题步骤 5.3.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ 为 $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

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