三角学示例

$f (x) = \sqrt{5 x - 20}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ 写为等式。

$y = \sqrt{5 x - 20}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt{5 y - 20}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt{5 y - 20} = x$ 。

$\sqrt{5 y - 20} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{5 y - 20}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 y - 20}$ 重写成 ${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(5 y - 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(5 y - 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(5 y - 20)}^{1} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$5 y - 20 = x^{2}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $20$ 。

$5 y = x^{2} + 20$

解题步骤 3.4.2

将 $5 y = x^{2} + 20$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $5 y = x^{2} + 20$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 y}{5} = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{2}}{5} + \frac{20}{5}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

用 $20$ 除以 $5$ 。

$y = \frac{x^{2}}{5} + 4$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$ 是否为 $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(\sqrt{5 x - 20})}^{2}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $5 x - 20$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 (x) - 20}}^{2}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

从 $- 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 x + 5 \cdot - 4}}^{2}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.1.3

从 $5 x + 5 \cdot - 4$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{\sqrt{5 (x - 4)}}^{2}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 ${\sqrt{5 (x - 4)}}^{2}$ 重写为 $5 (x - 4)$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 (x - 4)}$ 重写成 ${(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{({(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{{(5 (x - 4))}^{\frac{2}{2}}}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.2.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.3

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 4}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x - 20}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.5

从 $5 x - 20$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.5.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x) - 20}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.5.2

从 $- 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 x + 5 \cdot - 4}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.1.5.3

从 $5 x + 5 \cdot - 4$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = \frac{5 (x - 4)}{5} + 4$

解题步骤 5.2.3.2.2

用 $x - 4$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x - 4 + 4$

解题步骤 5.2.4

合并 $x - 4 + 4$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt{5 x - 20}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{2}}{5} + 4)$ 。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) - 20}$

解题步骤 5.3.3

从 $5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) - 20$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) + 5 \cdot - 4}$

解题步骤 5.3.3.2

从 $5 (\frac{x^{2}}{5} + 4) + 5 \cdot - 4$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 4 - 4)}$

解题步骤 5.3.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5} + 0)}$

解题步骤 5.3.4.2

将 $\frac{x^{2}}{5}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{5 (\frac{x^{2}}{5})}$

解题步骤 5.3.5

组合 $5$ 和 $\frac{x^{2}}{5}$ 。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

解题步骤 5.3.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.6.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{5 x^{2}}{5}$ 。

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解题步骤 5.3.6.1.1

约去公因数。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{5 x^{2}}{5}}$

解题步骤 5.3.6.1.2

重写表达式。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

解题步骤 5.3.6.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 5.3.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{x^{2}}{5} + 4) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$ 为 $f (x) = \sqrt{5 x - 20}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{5} + 4$

三角学 示例

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