三角学示例

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1 = 0$

解题步骤 2

化简 $\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1$ 。

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解题步骤 2.1

移动 $- 1$ 。

$\sin^{2} (32 °) - 1 + \cos^{2} (m) = 0$

解题步骤 2.2

将 $\sin^{2} (32 °)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- 1 + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- 1 (1) + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

解题步骤 2.4

从 $\sin^{2} (32 °)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

解题步骤 2.5

从 $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

解题步骤 2.6

将 $- 1 (1 - \sin^{2} (32 °))$ 重写为 $- (1 - \sin^{2} (32 °))$ 。

$- (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

解题步骤 2.7

使用勾股恒等式。

$- \cos^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

解题步骤 2.8

将 $- \cos^{2} (32 °)$ 和 $\cos^{2} (m)$ 重新排序。

$\cos^{2} (m) - \cos^{2} (32 °) = 0$

解题步骤 2.9

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (m)$ 和 $b = \cos (32 °)$ 。

$(\cos (m) + \cos (32 °)) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

解题步骤 2.10

计算 $\cos (32 °)$ 。

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

解题步骤 2.11

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1

计算 $\cos (32 °)$ 。

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 1 \cdot 0.84804809) = 0$

解题步骤 2.11.2

将 $- 1$ 乘以 $0.84804809$ 。

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

解题步骤 2.12

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809)$ 。

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解题步骤 2.12.1

运用分配律。

$\cos (m) (\cos (m) - 0.84804809) + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

解题步骤 2.12.2

运用分配律。

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

解题步骤 2.12.3

运用分配律。

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

解题步骤 2.13

合并 $\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809$ 中相反的项。

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解题步骤 2.13.1

按照 $\cos (m) \cdot - 0.84804809$ 和 $0.84804809 \cos (m)$ 重新排列因数。

$\cos (m) \cos (m) - 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

解题步骤 2.13.2

将 $- 0.84804809 \cos (m)$ 和 $0.84804809 \cos (m)$ 相加。

$\cos (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

解题步骤 2.14

化简每一项。

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解题步骤 2.14.1

乘以 $\cos (m) \cos (m)$ 。

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解题步骤 2.14.1.1

对 $\cos (m)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

解题步骤 2.14.1.2

对 $\cos (m)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{1} (m) \cos^{1} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

解题步骤 2.14.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (m)}^{1 + 1} + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

解题步骤 2.14.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{2} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

解题步骤 2.14.2

将 $0$ 乘以 $\cos (m)$ 。

$\cos^{2} (m) + 0 + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

解题步骤 2.14.3

将 $0.84804809$ 乘以 $- 0.84804809$ 。

$\cos^{2} (m) + 0 - 0.71918557 = 0$

解题步骤 2.15

将 $\cos^{2} (m)$ 和 $0$ 相加。

$\cos^{2} (m) - 0.71918557 = 0$

解题步骤 3

求解 $m$ 。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $0.71918557$ 。

$\cos^{2} (m) = 0.71918557$

解题步骤 3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\cos (m) = \pm \sqrt{0.71918557}$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

解题步骤 3.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

解题步骤 3.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}, - \sqrt{0.71918557}$

解题步骤 3.4

建立每一个解以求解 $m$ 。

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

解题步骤 3.5

在 $\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$ 中求解 $m$ 。

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解题步骤 3.5.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $m$ 。

$m = \arccos (\sqrt{0.71918557})$

解题步骤 3.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.1

计算 $\arccos (\sqrt{0.71918557})$ 。

$m = 32$

解题步骤 3.5.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $360$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$m = 360 - 32$

解题步骤 3.5.4

从 $360$ 中减去 $32$ 。

$m = 328$

解题步骤 3.5.5

求 $\cos (m)$ 的周期。

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解题步骤 3.5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 3.5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 3.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 3.5.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 3.5.6

$\cos (m)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.6

在 $\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$ 中求解 $m$ 。

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解题步骤 3.6.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $m$ 。

$m = \arccos (- \sqrt{0.71918557})$

解题步骤 3.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.6.2.1

计算 $\arccos (- \sqrt{0.71918557})$ 。

$m = 148$

解题步骤 3.6.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $360$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$m = 360 - 148$

解题步骤 3.6.4

从 $360$ 中减去 $148$ 。

$m = 212$

解题步骤 3.6.5

求 $\cos (m)$ 的周期。

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解题步骤 3.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{360}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{360}{| b |}$

解题步骤 3.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{360}{| 1 |}$

解题步骤 3.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{360}{1}$

解题步骤 3.6.5.4

用 $360$ 除以 $1$ 。

$360$

解题步骤 3.6.6

$\cos (m)$ 函数的周期为 $360$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $360$ 度数重复出现。

$m = 148 + 360 n, 212 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n, 212 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.8

合并解集。

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解题步骤 3.8.1

将 $32 + 360 n$ 和 $212 + 360 n$ 合并为 $32 + 180 n$ 。

$m = 32 + 180 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.8.2

将 $328 + 360 n$ 和 $148 + 360 n$ 合并为 $148 + 180 n$ 。

$m = 32 + 180 n, 148 + 180 n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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