三角学示例

$14 (1 - \cos (θ)) = \sin^{2} (θ)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sin^{2} (θ)$ 。

$14 (1 - \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$14 \cdot 1 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

解题步骤 2.2

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$14 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $14$ 。

$14 - 14 \cos (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

解题步骤 3

使用 $1 - \cos^{2} (θ)$ 替换 $\sin^{2} (θ)$ 。

$14 - 14 \cos (θ) - (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

解题步骤 4

求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

代入 $u$ 替换 $\cos (θ)$ 。

$14 - 14 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

解题步骤 4.2

化简 $14 - 14 u - (1 - u^{2})$ 。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

运用分配律。

$14 - 14 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$14 - 14 u - 1 - - u^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.3

乘以 $- - u^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$14 - 14 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

解题步骤 4.2.1.3.2

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$14 - 14 u - 1 + u^{2} = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $14$ 中减去 $1$ 。

$- 14 u + 13 + u^{2} = 0$

解题步骤 4.3

使用 AC 法来对 $- 14 u + 13 + u^{2}$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $13$ ，和为 $- 14$ 。

$- 13, - 1$

解题步骤 4.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 13) (u - 1) = 0$

解题步骤 4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 13 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 4.5

将 $u - 13$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $u - 13$ 设为等于 $0$ 。

$u - 13 = 0$

解题步骤 4.5.2

在等式两边都加上 $13$ 。

$u = 13$

解题步骤 4.6

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 4.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 4.7

最终解为使 $(u - 13) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 13, 1$

解题步骤 4.8

代入 $\cos (θ)$ 替换 $u$ 。

$\cos (θ) = 13, 1$

解题步骤 4.9

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\cos (θ) = 13$

$\cos (θ) = 1$

解题步骤 4.10

在 $\cos (θ) = 13$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.10.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $13$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 4.11

在 $\cos (θ) = 1$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.11.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (1)$

解题步骤 4.11.2

化简右边。

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解题步骤 4.11.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 4.11.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 2 π - 0$

解题步骤 4.11.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$θ = 2 π$

解题步骤 4.11.5

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.11.6

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.12

列出所有解。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.13

合并答案。

$θ = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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