三角学示例

$y = - \frac{10^{x}}{4}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - \frac{10^{y}}{4}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- \frac{10^{y}}{4} = x$ 。

$- \frac{10^{y}}{4} = x$

解题步骤 2.2

等式两边同时乘以 $- 4$ 。

$- 4 (- \frac{10^{y}}{4}) = - 4 x$

解题步骤 2.3

化简左边。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 4 (- \frac{10^{y}}{4})$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.1

将 $- \frac{10^{y}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$- 4 \frac{- 10^{y}}{4} = - 4 x$

解题步骤 2.3.1.1.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 1) \frac{- 10^{y}}{4} = - 4 x$

解题步骤 2.3.1.1.3

约去公因数。

$4 \cdot - 1 \frac{- 10^{y}}{4} = - 4 x$

解题步骤 2.3.1.1.4

重写表达式。

$- - 10^{y} = - 4 x$

解题步骤 2.3.1.2

乘。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \cdot 10^{y} = - 4 x$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $10^{y}$ 乘以 $1$ 。

$10^{y} = - 4 x$

解题步骤 2.4

方程两边同时取以 $10$ 为底的对数来去掉指数中的变量。

$\log (10^{y}) = \log (- 4 x)$

解题步骤 2.5

展开左边。

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解题步骤 2.5.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\log (10^{y})$ 。

$y \log (10) = \log (- 4 x)$

解题步骤 2.5.2

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \log (- 4 x)$

解题步骤 2.5.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \log (- 4 x)$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \log (- 4 x)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \log (- 4 x)$ 是否为 $f (x) = - \frac{10^{x}}{4}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4})$ 。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = \log (- 4 (- \frac{10^{x}}{4}))$

解题步骤 4.2.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- \frac{10^{x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = \log (- 4 \frac{- 10^{x}}{4})$

解题步骤 4.2.3.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = \log (4 (- 1) (\frac{- 10^{x}}{4}))$

解题步骤 4.2.3.3

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = \log (4 \cdot (- 1 \frac{- 10^{x}}{4}))$

解题步骤 4.2.3.4

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = \log (- 1 (- 10^{x}))$

解题步骤 4.2.4

乘。

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解题步骤 4.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = \log (1 \cdot 10^{x})$

解题步骤 4.2.4.2

将 $10^{x}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = \log (10^{x})$

解题步骤 4.2.5

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = x \log (10)$

解题步骤 4.2.6

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = x \cdot 1$

解题步骤 4.2.7

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{10^{x}}{4}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\log (- 4 x))$ 。

$f (\log (- 4 x)) = - \frac{10^{\log (- 4 x)}}{4}$

解题步骤 4.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\log (- 4 x)) = - \frac{- 4 x}{4}$

解题步骤 4.3.4

约去 $- 4$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\log (- 4 x)) = - \frac{4 (- x)}{4}$

解题步骤 4.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\log (- 4 x)) = - \frac{4 (- x)}{4 (1)}$

解题步骤 4.3.4.2.2

约去公因数。

$f (\log (- 4 x)) = - \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.4.2.3

重写表达式。

$f (\log (- 4 x)) = - \frac{- x}{1}$

解题步骤 4.3.4.2.4

用 $- x$ 除以 $1$ 。

$f (\log (- 4 x)) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \log (- 4 x)$ 为 $f (x) = - \frac{10^{x}}{4}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \log (- 4 x)$

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