三角学示例

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ 。

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\cos (θ) \sin (θ)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ 乘以 $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ 。

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ 乘以 $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}$

解题步骤 3.3

重新排序 $\sin (θ) \cos (θ)$ 的因式。

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.2

乘以 $- \sin (θ) \sin (θ)$ 。

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解题步骤 5.2.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.2.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1} - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) + (- \cos (θ) - \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.5

乘以 $- \cos (θ) \cos (θ)$ 。

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解题步骤 5.5.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.5.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1} - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.6

重新排序 $- \sin (θ) \cos (θ)$ 的因式。

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.7

从 $\cos (θ) \sin (θ)$ 中减去 $\cos (θ) \sin (θ)$ 。

$\frac{0 - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.8

从 $0$ 中减去 $\sin^{2} (θ)$ 。

$\frac{- \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.9

从 $- \sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.10

从 $- \cos^{2} (θ)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.11

从 $- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.12

使用勾股恒等式。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 5.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 6

分离分数。

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 转换成 $\sec (θ)$ 。

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

解题步骤 8

分离分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 转换成 $\csc (θ)$ 。

$\frac{- 1}{1} \csc (θ) \sec (θ)$

解题步骤 10

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \csc (θ) \sec (θ)$

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