三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 60 \\ B = & 30 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

求 $c$ 。

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解题步骤 1.1

角的余弦等于邻边和斜边之比。

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 1.2

将每一边的名字代入余弦函数的定义中。

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

解题步骤 1.3

建立一个方程以求解斜边，在本例中，即 $c$ 。

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

解题步骤 1.4

将每一个变量的值代入余弦公式。

$c = \frac{12}{\cos (30)}$

解题步骤 1.5

$\cos (30)$ 的值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$c = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 1.6

将分子乘以分母的倒数。

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

解题步骤 1.7

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 1.8

合并和化简分母。

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解题步骤 1.8.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 1.8.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 1.8.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 1.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

解题步骤 1.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

解题步骤 1.8.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 1.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 1.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 1.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.8.6.4.1

约去公因数。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 1.8.6.4.2

重写表达式。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 1.8.6.5

计算指数。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 1.9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.1

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$c = 3 (4) (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 1.9.2

约去公因数。

$c = 3 \cdot (4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3}))$

解题步骤 1.9.3

重写表达式。

$c = 4 (2 \sqrt{3})$

解题步骤 1.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$c = 8 \sqrt{3}$

解题步骤 2

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 2.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 2.2

求解 $b$ 的方程。

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

解题步骤 2.3

将实际值代入方程中。

$b = \sqrt{{(8 \sqrt{3})}^{2} - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

对 $8 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$b = \sqrt{8^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \sqrt{64 {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$b = \sqrt{64 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

$b = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.5.5

计算指数。

$b = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $64$ 乘以 $3$ 。

$b = \sqrt{192 - {(12)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \sqrt{192 - 1 \cdot 144}$

解题步骤 2.6.3

将 $- 1$ 乘以 $144$ 。

$b = \sqrt{192 - 144}$

解题步骤 2.6.4

从 $192$ 中减去 $144$ 。

$b = \sqrt{48}$

解题步骤 2.7

将 $48$ 重写为 $4^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.1

从 $48$ 中分解出因数 $16$ 。

$b = \sqrt{16 (3)}$

解题步骤 2.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$b = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

解题步骤 2.8

从根式下提出各项。

$b = 4 \sqrt{3}$

解题步骤 3

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 60$

$B = 30$

$C = 90$

$a = 12$

$b = 4 \sqrt{3}$

$c = 8 \sqrt{3}$

三角学 示例

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