三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 10 \sqrt{3} \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

求 $b$ 。

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解题步骤 1.1

角的余弦等于邻边和斜边之比。

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

解题步骤 1.2

将每一边的名字代入余弦函数的定义中。

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

解题步骤 1.3

建立方程式以求解邻边，在本例中为 $b$ 。

$b = c \cdot \cos (A)$

解题步骤 1.4

将每一个变量的值代入余弦公式。

$b = 10 \sqrt{3} \cdot \cos (30)$

解题步骤 1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $10 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$b = 2 (5 \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$b = 2 (5 \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$b = 5 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 1.6

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$b = 5 (\sqrt{3} \sqrt{3})$

解题步骤 1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$b = 5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

解题步骤 1.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$b = 5 {\sqrt{3}}^{2}$

解题步骤 1.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$b = 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 1.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$b = 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 1.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$b = 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 1.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.9.4.1

约去公因数。

$b = 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 1.9.4.2

重写表达式。

$b = 5 \cdot 3$

解题步骤 1.9.5

计算指数。

$b = 5 \cdot 3$

解题步骤 1.10

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$b = 15$

解题步骤 2

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 2.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 2.2

求解 $a$ 的方程。

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

解题步骤 2.3

将实际值代入方程中。

$a = \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

对 $10 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$a = \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.1

约去公因数。

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

重写表达式。

$a = \sqrt{100 \cdot 3 - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.5.5

计算指数。

$a = \sqrt{100 \cdot 3 - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$a = \sqrt{300 - {(15)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{300 - 1 \cdot 225}$

解题步骤 2.6.3

将 $- 1$ 乘以 $225$ 。

$a = \sqrt{300 - 225}$

解题步骤 2.6.4

从 $300$ 中减去 $225$ 。

$a = \sqrt{75}$

解题步骤 2.7

将 $75$ 重写为 $5^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.7.1

从 $75$ 中分解出因数 $25$ 。

$a = \sqrt{25 (3)}$

解题步骤 2.7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$a = \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

解题步骤 2.8

从根式下提出各项。

$a = 5 \sqrt{3}$

解题步骤 3

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 5 \sqrt{3}$

$b = 15$

$c = 10 \sqrt{3}$

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