三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = & 5 \\ a = & 3 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$A = \arccos (\frac{{(7)}^{2} + {(5)}^{2} - {(3)}^{2}}{2 (7) (5)})$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{49 + 5^{2} - 3^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

解题步骤 4.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 3^{2}}{2 (7) \cdot 5})$

解题步骤 4.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 1 \cdot 9}{2 (7) \cdot 5})$

解题步骤 4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$A = \arccos (\frac{49 + 25 - 9}{2 (7) \cdot 5})$

解题步骤 4.1.5

将 $49$ 和 $25$ 相加。

$A = \arccos (\frac{74 - 9}{2 (7) \cdot 5})$

解题步骤 4.1.6

从 $74$ 中减去 $9$ 。

$A = \arccos (\frac{65}{2 (7) \cdot 5})$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$A = \arccos (\frac{65}{14 \cdot 5})$

解题步骤 4.2.2

将 $14$ 乘以 $5$ 。

$A = \arccos (\frac{65}{70})$

解题步骤 4.3

约去 $65$ 和 $70$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $65$ 中分解出因数 $5$ 。

$A = \arccos (\frac{5 (13)}{70})$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $70$ 中分解出因数 $5$ 。

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 13}{5 \cdot 14})$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$A = \arccos (\frac{5 \cdot 13}{5 \cdot 14})$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$A = \arccos (\frac{13}{14})$

解题步骤 4.4

计算 $\arccos (\frac{13}{14})$ 。

$A = 21.78678929$

解题步骤 5

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 6

求解方程。

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

解题步骤 7

将已知值代入方程中。

$B = \arccos (\frac{{(3)}^{2} + {(5)}^{2} - {(7)}^{2}}{2 (3) (5)})$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{9 + 5^{2} - 7^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

解题步骤 8.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 7^{2}}{2 (3) \cdot 5})$

解题步骤 8.1.3

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 1 \cdot 49}{2 (3) \cdot 5})$

解题步骤 8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $49$ 。

$B = \arccos (\frac{9 + 25 - 49}{2 (3) \cdot 5})$

解题步骤 8.1.5

将 $9$ 和 $25$ 相加。

$B = \arccos (\frac{34 - 49}{2 (3) \cdot 5})$

解题步骤 8.1.6

从 $34$ 中减去 $49$ 。

$B = \arccos (\frac{- 15}{2 (3) \cdot 5})$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$B = \arccos (\frac{- 15}{6 \cdot 5})$

解题步骤 8.2.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$B = \arccos (\frac{- 15}{30})$

解题步骤 8.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 8.3.1

约去 $- 15$ 和 $30$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.1

从 $- 15$ 中分解出因数 $15$ 。

$B = \arccos (\frac{15 (- 1)}{30})$

解题步骤 8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1

从 $30$ 中分解出因数 $15$ 。

$B = \arccos (\frac{15 \cdot - 1}{15 \cdot 2})$

解题步骤 8.3.1.2.2

约去公因数。

$B = \arccos (\frac{15 \cdot - 1}{15 \cdot 2})$

解题步骤 8.3.1.2.3

重写表达式。

$B = \arccos (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 8.3.2

将负号移到分数的前面。

$B = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 8.4

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $120$ 。

$B = 120$

解题步骤 9

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$21.78678929 + C + 120 = 180$

解题步骤 10

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 10.1

将 $21.78678929$ 和 $120$ 相加。

$C + 141.78678929 = 180$

解题步骤 10.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去 $141.78678929$ 。

$C = 180 - 141.78678929$

解题步骤 10.2.2

从 $180$ 中减去 $141.78678929$ 。

$C = 38.2132107$

解题步骤 11

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 21.78678929$

$B = 120$

$C = 38.2132107$

$a = 3$

$b = 7$

$c = 5$

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