三角学示例

${(5 x^{2} - 7 \ln (x))}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 5 x^{2} - 7 \ln (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 7 \ln (x)]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{2} - 7 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)]$ 。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{d}{d x} [- 7 \ln (x)])$

解题步骤 2.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - 7 \frac{1}{x})$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x + \frac{- 7}{x})$

解题步骤 4.2

将负号移到分数的前面。

$2 (5 x^{2} - 7 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$(2 (5 x^{2}) + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$(10 x^{2} + 2 (- 7 \ln (x))) (10 x - \frac{7}{x})$

解题步骤 5.2.2

将 $- 7$ 乘以 $2$ 。

$(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$

解题步骤 5.3

重新排序 $(10 x^{2} - 14 \ln (x)) (10 x - \frac{7}{x})$ 的因式。

$(10 x - \frac{7}{x}) (10 x^{2} - 14 \ln (x))$

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