三角学示例

${(\sqrt{3} + i)}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$3^{2} + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$9 + 4 \sqrt{27} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.5

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.1.5.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.5.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.6

从根式下提出各项。

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.7

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.8

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.8.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.8.4.1

约去公因数。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.8.4.2

重写表达式。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.8.5

计算指数。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.9

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.10

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.11

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} i^{3} + i^{4}$

解题步骤 2.1.12

因式分解出 $i^{2}$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

解题步骤 2.1.13

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + i^{4}$

解题步骤 2.1.14

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 \sqrt{3} (- i) + i^{4}$

解题步骤 2.1.15

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.16.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

解题步骤 2.1.16.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.16.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$12 \sqrt{3} i - 9 - 4 \sqrt{3} i + 1$

解题步骤 2.2.2

从 $12 \sqrt{3} i$ 中减去 $4 \sqrt{3} i$ 。

$8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

解题步骤 2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $- 9$ 和 $1$ 相加。

$8 \sqrt{3} i - 8$

解题步骤 2.2.3.2

将 $8 \sqrt{3} i$ 和 $- 8$ 重新排序。

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$

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