三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 28 c = & 53 a = & 45 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = C = \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 28 \\ c = & 53 \\ a = & 45 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

A = arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

A = arccos (\frac{{(28)}^{2} + {(53)}^{2} - {(45)}^{2}}{2 (28) (53)})

$A = \arccos (\frac{{(28)}^{2} + {(53)}^{2} - {(45)}^{2}}{2 (28) (53)})$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对

28

$28$ 进行

2

$2$ 次方运算。

A = arccos (\frac{784 + 53^{2} - 45^{2}}{2 (28) \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{784 + 53^{2} - 45^{2}}{2 (28) \cdot 53})$

解题步骤 4.1.2

对

53

$53$ 进行

2

$2$ 次方运算。

A = arccos (\frac{784 + 2809 - 45^{2}}{2 (28) \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{784 + 2809 - 45^{2}}{2 (28) \cdot 53})$

解题步骤 4.1.3

对

45

$45$ 进行

2

$2$ 次方运算。

A = arccos (\frac{784 + 2809 - 1 \cdot 2025}{2 (28) \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{784 + 2809 - 1 \cdot 2025}{2 (28) \cdot 53})$

解题步骤 4.1.4

将

- 1

$- 1$ 乘以

2025

$2025$ 。

A = arccos (\frac{784 + 2809 - 2025}{2 (28) \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{784 + 2809 - 2025}{2 (28) \cdot 53})$

解题步骤 4.1.5

将

784

$784$ 和

2809

$2809$ 相加。

A = arccos (\frac{3593 - 2025}{2 (28) \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{3593 - 2025}{2 (28) \cdot 53})$

解题步骤 4.1.6

从

3593

$3593$ 中减去

2025

$2025$ 。

A = arccos (\frac{1568}{2 (28) \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{1568}{2 (28) \cdot 53})$

A = arccos (\frac{1568}{2 (28) \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{1568}{2 (28) \cdot 53})$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将

2

$2$ 乘以

28

$28$ 。

A = arccos (\frac{1568}{56 \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{1568}{56 \cdot 53})$

解题步骤 4.2.2

将

56

$56$ 乘以

53

$53$ 。

A = arccos (\frac{1568}{2968})

$A = \arccos (\frac{1568}{2968})$

A = arccos (\frac{1568}{2968})

$A = \arccos (\frac{1568}{2968})$

解题步骤 4.3

约去

1568

$1568$ 和

2968

$2968$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从

1568

$1568$ 中分解出因数

56

$56$ 。

A = arccos (\frac{56 (28)}{2968})

$A = \arccos (\frac{56 (28)}{2968})$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从

2968

$2968$ 中分解出因数

56

$56$ 。

A = arccos (\frac{56 \cdot 28}{56 \cdot 53})

$A = \arccos (\frac{56 \cdot 28}{56 \cdot 53})$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$A = \arccos (\frac{56 \cdot 28}{56 \cdot 53})$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$A = \arccos (\frac{28}{53})$

解题步骤 4.4

计算

$\arccos (\frac{28}{53})$ 。

$A = 58.10920819$

解题步骤 5

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 6

求解方程。

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

解题步骤 7

将已知值代入方程中。

$B = \arccos (\frac{{(45)}^{2} + {(53)}^{2} - {(28)}^{2}}{2 (45) (53)})$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对

$45$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{2025 + 53^{2} - 28^{2}}{2 (45) \cdot 53})$

解题步骤 8.1.2

对

$53$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{2025 + 2809 - 28^{2}}{2 (45) \cdot 53})$

解题步骤 8.1.3

对

$28$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{2025 + 2809 - 1 \cdot 784}{2 (45) \cdot 53})$

解题步骤 8.1.4

将

$- 1$ 乘以

$784$ 。

$B = \arccos (\frac{2025 + 2809 - 784}{2 (45) \cdot 53})$

解题步骤 8.1.5

将

$2025$ 和

$2809$ 相加。

$B = \arccos (\frac{4834 - 784}{2 (45) \cdot 53})$

解题步骤 8.1.6

从

$4834$ 中减去

$784$ 。

$B = \arccos (\frac{4050}{2 (45) \cdot 53})$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将

$2$ 乘以

$45$ 。

$B = \arccos (\frac{4050}{90 \cdot 53})$

解题步骤 8.2.2

将

$90$ 乘以

$53$ 。

$B = \arccos (\frac{4050}{4770})$

解题步骤 8.3

约去

$4050$ 和

$4770$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从

$4050$ 中分解出因数

$90$ 。

$B = \arccos (\frac{90 (45)}{4770})$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从

$4770$ 中分解出因数

$90$ 。

$B = \arccos (\frac{90 \cdot 45}{90 \cdot 53})$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

$B = \arccos (\frac{90 \cdot 45}{90 \cdot 53})$

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

$B = \arccos (\frac{45}{53})$

解题步骤 8.4

计算

$\arccos (\frac{45}{53})$ 。

$B = 31.8907918$

解题步骤 9

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$58.10920819 + C + 31.8907918 = 180$

解题步骤 10

求解

$C$ 的方程。

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解题步骤 10.1

将

$58.10920819$ 和

$31.8907918$ 相加。

$C + 90 = 180$

解题步骤 10.2

将所有不包含

$C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去

$90$ 。

$C = 180 - 90$

解题步骤 10.2.2

从

$180$ 中减去

$90$ 。

$C = 90$

解题步骤 11

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 58.10920819$

$B = 31.8907918$

$C = 90$

$a = 45$

$b = 28$

$c = 53$

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