三角学示例

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$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 16 \\ c = & 20 \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$A = \arccos (\frac{{(16)}^{2} + {(20)}^{2} - {(12)}^{2}}{2 (16) (20)})$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对

$16$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{256 + 20^{2} - 12^{2}}{2 (16) \cdot 20})$

解题步骤 4.1.2

对

$20$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{256 + 400 - 12^{2}}{2 (16) \cdot 20})$

解题步骤 4.1.3

对

$12$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{256 + 400 - 1 \cdot 144}{2 (16) \cdot 20})$

解题步骤 4.1.4

将

$- 1$ 乘以

$144$ 。

$A = \arccos (\frac{256 + 400 - 144}{2 (16) \cdot 20})$

解题步骤 4.1.5

将

$256$ 和

$400$ 相加。

$A = \arccos (\frac{656 - 144}{2 (16) \cdot 20})$

解题步骤 4.1.6

从

$656$ 中减去

$144$ 。

$A = \arccos (\frac{512}{2 (16) \cdot 20})$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将

$2$ 乘以

$16$ 。

$A = \arccos (\frac{512}{32 \cdot 20})$

解题步骤 4.2.2

将

$32$ 乘以

$20$ 。

$A = \arccos (\frac{512}{640})$

解题步骤 4.3

约去

$512$ 和

$640$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从

$512$ 中分解出因数

$128$ 。

$A = \arccos (\frac{128 (4)}{640})$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从

$640$ 中分解出因数

$128$ 。

$A = \arccos (\frac{128 \cdot 4}{128 \cdot 5})$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$A = \arccos (\frac{128 \cdot 4}{128 \cdot 5})$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$A = \arccos (\frac{4}{5})$

解题步骤 4.4

计算

$\arccos (\frac{4}{5})$ 。

$A = 36.86989764$

解题步骤 5

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 6

求解方程。

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

解题步骤 7

将已知值代入方程中。

$B = \arccos (\frac{{(12)}^{2} + {(20)}^{2} - {(16)}^{2}}{2 (12) (20)})$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对

$12$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{144 + 20^{2} - 16^{2}}{2 (12) \cdot 20})$

解题步骤 8.1.2

对

$20$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{144 + 400 - 16^{2}}{2 (12) \cdot 20})$

解题步骤 8.1.3

对

$16$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{144 + 400 - 1 \cdot 256}{2 (12) \cdot 20})$

解题步骤 8.1.4

将

$- 1$ 乘以

$256$ 。

$B = \arccos (\frac{144 + 400 - 256}{2 (12) \cdot 20})$

解题步骤 8.1.5

将

$144$ 和

$400$ 相加。

$B = \arccos (\frac{544 - 256}{2 (12) \cdot 20})$

解题步骤 8.1.6

从

$544$ 中减去

$256$ 。

$B = \arccos (\frac{288}{2 (12) \cdot 20})$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将

$2$ 乘以

$12$ 。

$B = \arccos (\frac{288}{24 \cdot 20})$

解题步骤 8.2.2

将

$24$ 乘以

$20$ 。

$B = \arccos (\frac{288}{480})$

解题步骤 8.3

约去

$288$ 和

$480$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从

$288$ 中分解出因数

$96$ 。

$B = \arccos (\frac{96 (3)}{480})$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从

$480$ 中分解出因数

$96$ 。

$B = \arccos (\frac{96 \cdot 3}{96 \cdot 5})$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

$B = \arccos (\frac{96 \cdot 3}{96 \cdot 5})$

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

$B = \arccos (\frac{3}{5})$

解题步骤 8.4

计算

$\arccos (\frac{3}{5})$ 。

$B = 53.13010235$

解题步骤 9

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$36.86989764 + C + 53.13010235 = 180$

解题步骤 10

求解

$C$ 的方程。

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解题步骤 10.1

将

$36.86989764$ 和

$53.13010235$ 相加。

$C + 90 = 180$

解题步骤 10.2

将所有不包含

$C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去

$90$ 。

$C = 180 - 90$

解题步骤 10.2.2

从

$180$ 中减去

$90$ 。

$C = 90$

解题步骤 11

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 36.86989764$

$B = 53.13010235$

$C = 90$

$a = 12$

$b = 16$

$c = 20$

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