三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = & 5 c = & 12 a = & 13 \end{matrix} & \begin{matrix} A = B = C = \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 5 \\ c = & 12 \\ a = & 13 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$A = \arccos (\frac{{(5)}^{2} + {(12)}^{2} - {(13)}^{2}}{2 (5) (12)})$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对

$5$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{25 + 12^{2} - 13^{2}}{2 (5) \cdot 12})$

解题步骤 4.1.2

对

$12$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{25 + 144 - 13^{2}}{2 (5) \cdot 12})$

解题步骤 4.1.3

对

$13$ 进行

$2$ 次方运算。

$A = \arccos (\frac{25 + 144 - 1 \cdot 169}{2 (5) \cdot 12})$

解题步骤 4.1.4

将

$- 1$ 乘以

$169$ 。

$A = \arccos (\frac{25 + 144 - 169}{2 (5) \cdot 12})$

解题步骤 4.1.5

将

$25$ 和

$144$ 相加。

$A = \arccos (\frac{169 - 169}{2 (5) \cdot 12})$

解题步骤 4.1.6

从

$169$ 中减去

$169$ 。

$A = \arccos (\frac{0}{2 (5) \cdot 12})$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将

$2$ 乘以

$5$ 。

$A = \arccos (\frac{0}{10 \cdot 12})$

解题步骤 4.2.2

将

$10$ 乘以

$12$ 。

$A = \arccos (\frac{0}{120})$

解题步骤 4.3

用

$0$ 除以

$120$ 。

$A = \arccos (0)$

解题步骤 4.4

$\arccos (0)$ 的准确值为

$90$ 。

$A = 90$

解题步骤 5

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 6

求解方程。

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

解题步骤 7

将已知值代入方程中。

$B = \arccos (\frac{{(13)}^{2} + {(12)}^{2} - {(5)}^{2}}{2 (13) (12)})$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对

$13$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{169 + 12^{2} - 5^{2}}{2 (13) \cdot 12})$

解题步骤 8.1.2

对

$12$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{169 + 144 - 5^{2}}{2 (13) \cdot 12})$

解题步骤 8.1.3

对

$5$ 进行

$2$ 次方运算。

$B = \arccos (\frac{169 + 144 - 1 \cdot 25}{2 (13) \cdot 12})$

解题步骤 8.1.4

将

$- 1$ 乘以

$25$ 。

$B = \arccos (\frac{169 + 144 - 25}{2 (13) \cdot 12})$

解题步骤 8.1.5

将

$169$ 和

$144$ 相加。

$B = \arccos (\frac{313 - 25}{2 (13) \cdot 12})$

解题步骤 8.1.6

从

$313$ 中减去

$25$ 。

$B = \arccos (\frac{288}{2 (13) \cdot 12})$

解题步骤 8.2

化简分母。

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解题步骤 8.2.1

将

$2$ 乘以

$13$ 。

$B = \arccos (\frac{288}{26 \cdot 12})$

解题步骤 8.2.2

将

$26$ 乘以

$12$ 。

$B = \arccos (\frac{288}{312})$

解题步骤 8.3

约去

$288$ 和

$312$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1

从

$288$ 中分解出因数

$24$ 。

$B = \arccos (\frac{24 (12)}{312})$

解题步骤 8.3.2

约去公因数。

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解题步骤 8.3.2.1

从

$312$ 中分解出因数

$24$ 。

$B = \arccos (\frac{24 \cdot 12}{24 \cdot 13})$

解题步骤 8.3.2.2

约去公因数。

$B = \arccos (\frac{24 \cdot 12}{24 \cdot 13})$

解题步骤 8.3.2.3

重写表达式。

$B = \arccos (\frac{12}{13})$

解题步骤 8.4

计算

$\arccos (\frac{12}{13})$ 。

$B = 22.61986494$

解题步骤 9

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$90 + C + 22.61986494 = 180$

解题步骤 10

求解

$C$ 的方程。

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解题步骤 10.1

将

$90$ 和

$22.61986494$ 相加。

$C + 112.61986494 = 180$

解题步骤 10.2

将所有不包含

$C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去

$112.61986494$ 。

$C = 180 - 112.61986494$

解题步骤 10.2.2

从

$180$ 中减去

$112.61986494$ 。

$C = 67.38013505$

解题步骤 11

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 90$

$B = 22.61986494$

$C = 67.38013505$

$a = 13$

$b = 5$

$c = 12$

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