三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 ° \\ B = & 60 ° \\ C = & 90 ° \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $a$ 。

$\frac{\sin (30 °)}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

解题步骤 3

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.1.1

$\sin (30 °)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

解题步骤 3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

解题步骤 3.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{a}$ 。

$\frac{1}{2 a} = \frac{\sin (90 °)}{12}$

解题步骤 3.1.4

$\sin (90 °)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 a, 12$

解题步骤 3.2.2

由于 $2 a, 12$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $2, 12$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $a^{1}$ 的最小公倍数。

解题步骤 3.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.2.4

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 3.2.5

$12$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

$12$ 具有因式 $2$ 和 $6$ 。

$2 \cdot 6$

解题步骤 3.2.5.2

$6$ 具有因式 $2$ 和 $3$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 3$

解题步骤 3.2.6

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 3$

解题步骤 3.2.6.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12$

解题步骤 3.2.7

$a^{1}$ 的因式是 $a$ 本身。

$a^{1} = a$

$a$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.2.8

$a^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$a$

解题步骤 3.2.9

$2 a, 12$ 的最小公倍数为数字部分 $12$ 乘以变量部分。

$12 a$

解题步骤 3.3

将 $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ 中的每一项乘以 $12 a$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{12}$ 中的每一项乘以 $12 a$ 。

$\frac{1}{2 a} (12 a) = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$12 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6) \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $2 a$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6) \frac{1}{2 (a)} a = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 6 \frac{1}{2 a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.2.2.4

重写表达式。

$6 \frac{1}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.2.3

组合 $6$ 和 $\frac{1}{a}$ 。

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.2.4

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{6}{a} a = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.2.4.2

重写表达式。

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $12 a$ 中分解出因数 $12$ 。

$6 = \frac{1}{12} (12 (a))$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

$6 = \frac{1}{12} (12 a)$

解题步骤 3.3.3.1.3

重写表达式。

$6 = a$

解题步骤 3.4

将方程重写为 $a = 6$ 。

$a = 6$

解题步骤 4

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 5

将已知值代入正弦定理以求 $b$ 。

$\frac{\sin (60 °)}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

解题步骤 6

求解 $b$ 的方程。

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解题步骤 6.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 6.1.1

$\sin (60 °)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

解题步骤 6.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

解题步骤 6.1.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{b}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (30 °)}{6}$

解题步骤 6.1.4

$\sin (30 °)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\frac{1}{2}}{6}$

解题步骤 6.1.5

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 6.1.6

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6}$ 。

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解题步骤 6.1.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{2 \cdot 6}$

解题步骤 6.1.6.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$

解题步骤 6.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 b, 12$

解题步骤 6.2.2

由于 $2 b, 12$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $2, 12$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $b^{1}$ 的最小公倍数。

解题步骤 6.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 6.2.4

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 6.2.5

$12$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

$12$ 具有因式 $2$ 和 $6$ 。

$2 \cdot 6$

解题步骤 6.2.5.2

$6$ 具有因式 $2$ 和 $3$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 3$

解题步骤 6.2.6

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 3$

解题步骤 6.2.6.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12$

解题步骤 6.2.7

$b^{1}$ 的因式是 $b$ 本身。

$b^{1} = b$

$b$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 6.2.8

$b^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$b$

解题步骤 6.2.9

$2 b, 12$ 的最小公倍数为数字部分 $12$ 乘以变量部分。

$12 b$

解题步骤 6.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ 中的每一项乘以 $12 b$ 以消去分数。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{12}$ 中的每一项乘以 $12 b$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (12 b) = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$12 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.2.2.2

从 $2 b$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.2.2.4

重写表达式。

$6 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.2.3

组合 $6$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{b}$ 。

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.2.4

约去 $b$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{6 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.2.4.2

重写表达式。

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1.1

从 $12 b$ 中分解出因数 $12$ 。

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 (b))$

解题步骤 6.3.3.1.2

约去公因数。

$6 \sqrt{3} = \frac{1}{12} (12 b)$

解题步骤 6.3.3.1.3

重写表达式。

$6 \sqrt{3} = b$

解题步骤 6.4

将方程重写为 $b = 6 \sqrt{3}$ 。

$b = 6 \sqrt{3}$

解题步骤 7

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 30 °$

$B = 60 °$

$C = 90 °$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$

三角学 示例

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