三角学示例

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\begin{matrix} Side & Angle \begin{matrix} b = c = a = & 105 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 65 B = & 37 C = \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 105 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 65 \\ B = & 37 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

\frac{sin (A)}{a} = \frac{sin (B)}{b} = \frac{sin (C)}{c}

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求

b

$b$ 。

\frac{sin (37)}{b} = \frac{sin (65)}{105}

$\frac{\sin (37)}{b} = \frac{\sin (65)}{105}$

解题步骤 3

求解

b

$b$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.1.1

计算

sin (37)

$\sin (37)$ 。

\frac{0.60181502}{b} = \frac{sin (65)}{105}

$\frac{0.60181502}{b} = \frac{\sin (65)}{105}$

解题步骤 3.1.2

计算

sin (65)

$\sin (65)$ 。

\frac{0.60181502}{b} = \frac{0.90630778}{105}

$\frac{0.60181502}{b} = \frac{0.90630778}{105}$

解题步骤 3.1.3

用

0.90630778

$0.90630778$ 除以

105

$105$ 。

\frac{0.60181502}{b} = 0.0086315

$\frac{0.60181502}{b} = 0.0086315$

\frac{0.60181502}{b} = 0.0086315

$\frac{0.60181502}{b} = 0.0086315$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

b, 1

$b, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

b

$b$

b

$b$

解题步骤 3.3

将

\frac{0.60181502}{b} = 0.0086315

$\frac{0.60181502}{b} = 0.0086315$ 中的每一项乘以

b

$b$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将

\frac{0.60181502}{b} = 0.0086315

$\frac{0.60181502}{b} = 0.0086315$ 中的每一项乘以

b

$b$ 。

\frac{0.60181502}{b} b = 0.0086315 b

$\frac{0.60181502}{b} b = 0.0086315 b$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去

b

$b$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.60181502}{b} b = 0.0086315 b$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$0.60181502 = 0.0086315 b$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为

$0.0086315 b = 0.60181502$ 。

$0.0086315 b = 0.60181502$

解题步骤 3.4.2

将

$0.0086315 b = 0.60181502$ 中的每一项除以

$0.0086315$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将

$0.0086315 b = 0.60181502$ 中的每一项都除以

$0.0086315$ 。

$\frac{0.0086315 b}{0.0086315} = \frac{0.60181502}{0.0086315}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去

$0.0086315$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.0086315 b}{0.0086315} = \frac{0.60181502}{0.0086315}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用

$b$ 除以

$1$ 。

$b = \frac{0.60181502}{0.0086315}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

用

$0.60181502$ 除以

$0.0086315$ 。

$b = 69.72308782$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是

$180$ 度。

$65 + C + 37 = 180$

解题步骤 5

求解

$C$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将

$65$ 和

$37$ 相加。

$C + 102 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含

$C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去

$102$ 。

$C = 180 - 102$

解题步骤 5.2.2

从

$180$ 中减去

$102$ 。

$C = 78$

解题步骤 6

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 7

将已知值代入正弦定理以求

$c$ 。

$\frac{\sin (78)}{c} = \frac{\sin (65)}{105}$

解题步骤 8

求解

$c$ 的方程。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

计算

$\sin (78)$ 。

$\frac{0.9781476}{c} = \frac{\sin (65)}{105}$

解题步骤 8.1.2

计算

$\sin (65)$ 。

$\frac{0.9781476}{c} = \frac{0.90630778}{105}$

解题步骤 8.1.3

用

$0.90630778$ 除以

$105$ 。

$\frac{0.9781476}{c} = 0.0086315$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$c, 1$

解题步骤 8.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$c$

解题步骤 8.3

将

$\frac{0.9781476}{c} = 0.0086315$ 中的每一项乘以

$c$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将

$\frac{0.9781476}{c} = 0.0086315$ 中的每一项乘以

$c$ 。

$\frac{0.9781476}{c} c = 0.0086315 c$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去

$c$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.9781476}{c} c = 0.0086315 c$

解题步骤 8.3.2.1.2

重写表达式。

$0.9781476 = 0.0086315 c$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为

$0.0086315 c = 0.9781476$ 。

$0.0086315 c = 0.9781476$

解题步骤 8.4.2

将

$0.0086315 c = 0.9781476$ 中的每一项除以

$0.0086315$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将

$0.0086315 c = 0.9781476$ 中的每一项都除以

$0.0086315$ 。

$\frac{0.0086315 c}{0.0086315} = \frac{0.9781476}{0.0086315}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去

$0.0086315$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.0086315 c}{0.0086315} = \frac{0.9781476}{0.0086315}$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

用

$c$ 除以

$1$ 。

$c = \frac{0.9781476}{0.0086315}$

解题步骤 8.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.3.1

用

$0.9781476$ 除以

$0.0086315$ 。

$c = 113.32297873$

解题步骤 9

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 65$

$B = 37$

$C = 78$

$a = 105$

$b = 69.72308782$

$c = 113.32297873$

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