三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 54 \\ c = & 42 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 52.1 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $C$ 。

$\frac{\sin (C)}{42} = \frac{\sin (52.1)}{54}$

解题步骤 3

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $42$ 。

$42 \frac{\sin (C)}{42} = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $42$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$42 \frac{\sin (C)}{42} = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

解题步骤 3.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (C) = 42 \frac{\sin (52.1)}{54}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $42 \frac{\sin (52.1)}{54}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

从 $42$ 中分解出因数 $6$ 。

$\sin (C) = 6 (7) \frac{\sin (52.1)}{54}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

从 $54$ 中分解出因数 $6$ 。

$\sin (C) = 6 \cdot 7 \frac{\sin (52.1)}{6 \cdot 9}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

约去公因数。

$\sin (C) = 6 \cdot 7 \frac{\sin (52.1)}{6 \cdot 9}$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

重写表达式。

$\sin (C) = 7 \frac{\sin (52.1)}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.2

组合 $7$ 和 $\frac{\sin (52.1)}{9}$ 。

$\sin (C) = \frac{7 \sin (52.1)}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.3

计算 $\sin (52.1)$ 。

$\sin (C) = \frac{7 \cdot 0.78908408}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.4

将 $7$ 乘以 $0.78908408$ 。

$\sin (C) = \frac{5.52358859}{9}$

解题步骤 3.2.2.1.5

用 $5.52358859$ 除以 $9$ 。

$\sin (C) = 0.61373206$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $C$ 。

$C = \arcsin (0.61373206)$

解题步骤 3.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.1

计算 $\arcsin (0.61373206)$ 。

$C = 37.85984761$

解题步骤 3.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$C = 180 - 37.85984761$

解题步骤 3.6

从 $180$ 中减去 $37.85984761$ 。

$C = 142.14015238$

解题步骤 3.7

方程 $C = 37.85984761$ 的解。

$C = 37.85984761, 142.14015238$

解题步骤 3.8

排除无效角。

$C = 37.85984761$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 37.85984761 + 52.1 = 180$

解题步骤 5

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $37.85984761$ 和 $52.1$ 相加。

$A + 89.95984761 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $89.95984761$ 。

$A = 180 - 89.95984761$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $89.95984761$ 。

$A = 90.04015238$

解题步骤 6

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 7

求解方程。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

解题步骤 8

将已知值代入方程中。

$a = \sqrt{{(54)}^{2} + {(42)}^{2} - 2 \cdot 54 \cdot 42 \cos (90.04015238)}$

解题步骤 9

化简结果。

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解题步骤 9.1

对 $54$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{2916 + {(42)}^{2} - 2 \cdot 54 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

解题步骤 9.2

对 $42$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 2 \cdot 54 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

解题步骤 9.3

乘以 $- 2 \cdot 54 \cdot 42$ 。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 2$ 乘以 $54$ 。

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 108 \cdot (42 \cos (90.04015238))}$

解题步骤 9.3.2

将 $- 108$ 乘以 $42$ 。

$a = \sqrt{2916 + 1764 - 4536 \cos (90.04015238)}$

解题步骤 9.4

将 $2916$ 和 $1764$ 相加。

$a = \sqrt{4680 - 4536 \cos (90.04015238)}$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 90.04015238$

$B = 52.1$

$C = 37.85984761$

$a = \sqrt{4680 - 4536 \cos (90.04015238)}$

$b = 54$

$c = 42$

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