三角学示例

$\frac{{(2 + 2 i)}^{5} {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$\frac{(2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{4} (2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $2^{4}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 2.2.1

移动 $2$ 。

$\frac{(32 + 5 \cdot (2 \cdot 2^{4}) i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $2^{4}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(32 + 5 \cdot (2^{1} \cdot 2^{4}) i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{1 + 4} i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{5} i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.3

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{(32 + 5 \cdot 32 i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $32$ 。

$\frac{(32 + 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{(32 + 160 i + 10 \cdot 8 {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.6

将 $10$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(32 + 160 i + 80 {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.7

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(32 + 160 i + 80 (2^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(32 + 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(32 + 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.10

乘以 $80 (4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.10.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(32 + 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.10.2

将 $80$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.11

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.12

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.13

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (2^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.18

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (- 8 i) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.19

将 $- 8$ 乘以 $40$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.20

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.21

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (2^{4} i^{4}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.22

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.23

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.23.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.23.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.23.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.24

乘以 $10 (16 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.24.1

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 \cdot 16 + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.24.2

将 $10$ 乘以 $16$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.25

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 2^{5} i^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.26

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 i^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.27

因式分解出 $i^{4}$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 (i^{4} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.28

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.28.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 ({(i^{2})}^{2} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.28.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 ({(- 1)}^{2} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.28.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 (1 i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.29

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 3

从 $32$ 中减去 $320$ 。

$\frac{(- 288 + 160 i - 320 i + 160 + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4

将 $- 288$ 和 $160$ 相加。

$\frac{(- 128 + 160 i - 320 i + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 5

从 $160 i$ 中减去 $320 i$ 。

$\frac{(- 128 - 160 i + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6

将 $- 160 i$ 和 $32 i$ 相加。

$\frac{(- 128 - 128 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 7

使用二项式定理。

$\frac{(- 128 - 128 i) ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 3 \cdot 9 (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.3

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 27 (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.4

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.5

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.6

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (3^{2} i^{2}) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (9 i^{2}) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.8

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (9 \cdot - 1) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.9

乘以 $- 9 (9 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 8.9.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 \cdot - 9 + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.9.2

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.10

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 3^{3} i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.11

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.12

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (i^{2} \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.13

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (- 1 \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.14

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (- i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 8.15

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 - 27 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 9

将 $- 27$ 和 $81$ 相加。

$\frac{(- 128 - 128 i) (54 + 81 i - 27 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 10

从 $81 i$ 中减去 $27 i$ 。

$\frac{(- 128 - 128 i) (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 11

使用 FOIL 方法展开 $(- 128 - 128 i) (54 + 54 i)$ 。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{- 128 (54 + 54 i) - 128 i (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{- 128 \cdot 54 - 128 (54 i) - 128 i (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$\frac{- 128 \cdot 54 - 128 (54 i) - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12

化简并合并同类项。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

将 $- 128$ 乘以 $54$ 。

$\frac{- 6912 - 128 (54 i) - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.2

将 $54$ 乘以 $- 128$ 。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.3

将 $54$ 乘以 $- 128$ 。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.4

乘以 $- 128 i (54 i)$ 。

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解题步骤 12.1.4.1

将 $54$ 乘以 $- 128$ 。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 (i^{1} i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.4.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 (i^{1} i^{1})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i^{1 + 1}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i^{2}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 \cdot - 1}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.1.6

将 $- 6912$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i + 6912}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.2

将 $- 6912$ 和 $6912$ 相加。

$\frac{0 - 6912 i - 6912 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.3

从 $0$ 中减去 $6912 i$ 。

$\frac{- 6912 i - 6912 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 12.4

从 $- 6912 i$ 中减去 $6912 i$ 。

$\frac{- 13824 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{13824 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

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