三角学示例

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) = \sqrt{2}$ , $[0, 2 π)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sqrt{2}$ 。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

解题步骤 2

对 $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2}$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

重新排序项。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - \sqrt{2} (2 \cos (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 \cos (x) + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

解题步骤 4

将 $2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \cos (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2 \cos (x) - \sqrt{2}$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $\sqrt{2}$ 。

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

解题步骤 5.2.2

将 $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 5.2.6.3.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 5.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

求在区间 $[0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 7.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 7.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

解题步骤 7.1.2

化简。

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解题步骤 7.1.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 7.1.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π}{4} + 0 π$

解题步骤 7.1.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{π}{4} + 0$

解题步骤 7.1.2.2

将 $\frac{π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{4}$

解题步骤 7.1.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 7.2.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

解题步骤 7.2.2

化简。

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解题步骤 7.2.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

解题步骤 7.2.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{2 π}{3} + 0$

解题步骤 7.2.2.2

将 $\frac{2 π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.2.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.3

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 7.3.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{4 π}{3} + 2 π (0)$

解题步骤 7.3.2

化简。

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解题步骤 7.3.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 7.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π}{3} + 0 π$

解题步骤 7.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{4 π}{3} + 0$

解题步骤 7.3.2.2

将 $\frac{4 π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.3.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{4 π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.4

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 7.4.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

解题步骤 7.4.2

化简。

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解题步骤 7.4.2.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 7.4.2.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

解题步骤 7.4.2.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$\frac{7 π}{4} + 0$

解题步骤 7.4.2.2

将 $\frac{7 π}{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 7.4.3

区间 $[0, 2 π)$ 包含 $\frac{7 π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}$

三角学 示例

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