三角学示例

$(2, \sqrt{2})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(2, \sqrt{2})$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(2, 0)$ 和 $(2, \sqrt{2})$ 三点之间的三角形。

取反： $\sqrt{2}$

邻边： $2$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{4 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{4 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{4 + 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{4 + 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{4 + 2^{1}}$

解题步骤 2.2.5

计算指数。

$\sqrt{4 + 2}$

解题步骤 2.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\sqrt{6}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

把 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{6}$ 组合为一个单根式。

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{2}{6}}$

解题步骤 4.2

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{2 (1)}{6}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.2.2

约去公因数。

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 4.2.2.3

重写表达式。

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.3

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.6.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.6.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.6.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.57735026$

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