三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 5 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

求 $c$ 。

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解题步骤 1.1

角的正弦等于对边和斜边之比。

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

解题步骤 1.2

将每一边的名字代入正弦函数的定义中。

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

解题步骤 1.3

建立一个方程以求解斜边，在本例中，即 $c$ 。

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

解题步骤 1.4

将每一个变量的值代入正弦公式。

$c = \frac{5}{\sin (60)}$

解题步骤 1.5

将分子乘以分母的倒数。

$c = 5 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

解题步骤 1.6

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$c = 5 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 1.7

合并和化简分母。

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解题步骤 1.7.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 1.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 1.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 1.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

解题步骤 1.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

解题步骤 1.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 1.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 1.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 1.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.6.4.1

约去公因数。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 1.7.6.4.2

重写表达式。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 1.7.6.5

计算指数。

$c = 5 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 1.8

乘以 $5 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 1.8.1

组合 $5$ 和 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 。

$c = \frac{5 (2 \sqrt{3})}{3}$

解题步骤 1.8.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$c = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

使用勾股定理求三角形的最后一条边。

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解题步骤 2.1

使用勾股定理求未知边。在任何直角三角形中，斜边（直角三角形直角对应的边）的平方等于另外两边（除斜边外的两边）的平方之和。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

解题步骤 2.2

求解 $a$ 的方程。

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

解题步骤 2.3

将实际值代入方程中。

$a = \sqrt{{(\frac{10 \sqrt{3}}{3})}^{2} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.4.1

对 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{\frac{{(10 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

对 $10 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{\frac{10^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{\frac{100 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$a = \sqrt{\frac{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.4.1

约去公因数。

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.2

重写表达式。

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.5

计算指数。

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3}{3^{2}} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{\frac{100 \cdot 3}{9} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$a = \sqrt{\frac{300}{9} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.6.3

约去 $300$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.3.1

从 $300$ 中分解出因数 $3$ 。

$a = \sqrt{\frac{3 (100)}{9} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.3.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$a = \sqrt{\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 3} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.6.3.2.2

约去公因数。

$a = \sqrt{\frac{3 \cdot 100}{3 \cdot 3} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.6.3.2.3

重写表达式。

$a = \sqrt{\frac{100}{3} - {(5)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4

化简表达式。

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解题步骤 2.6.4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{\frac{100}{3} - 1 \cdot 25}$

解题步骤 2.6.4.2

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$a = \sqrt{\frac{100}{3} - 25}$

解题步骤 2.7

要将 $- 25$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$a = \sqrt{\frac{100}{3} - 25 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 2.8

组合 $- 25$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$a = \sqrt{\frac{100}{3} + \frac{- 25 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$a = \sqrt{\frac{100 - 25 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 25$ 乘以 $3$ 。

$a = \sqrt{\frac{100 - 75}{3}}$

解题步骤 2.10.2

从 $100$ 中减去 $75$ 。

$a = \sqrt{\frac{25}{3}}$

解题步骤 2.11

将 $\sqrt{\frac{25}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ 。

$a = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.12

化简分子。

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解题步骤 2.12.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$a = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.12.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = \frac{5}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.13

将 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$a = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 2.14

合并和化简分母。

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解题步骤 2.14.1

将 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.14.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.14.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 2.14.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.14.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.14.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.14.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.14.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.14.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.14.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.14.6.4.1

约去公因数。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.14.6.4.2

重写表达式。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2.14.6.5

计算指数。

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 3

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

$b = 5$

$c = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

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