三角学示例

${(5 (\cos (30 °) + i \sin (30 °)))}^{4}$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

$\cos (30 °)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30 °)))}^{4}$

解题步骤 1.1.2

$\sin (30 °)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{4}$

解题步骤 1.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{4}$

解题步骤 1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

${(5 \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \frac{i}{2})}^{4}$

解题步骤 1.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{i}{2})}^{4}$

解题步骤 1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{i}{2}$ 。

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{4} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.1.1

对 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(5 \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.1.2

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{5^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{625 {\sqrt{3}}^{4}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{625 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{625 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$\frac{625 \cdot 3^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{625 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{625 \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.2.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{625 \cdot 3^{2}}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{625 \cdot 9}{2^{4}} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{625 \cdot 9}{16} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.4

将 $625$ 乘以 $9$ 。

$\frac{5625}{16} + 4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.5.1

从 $4 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + 2 (2 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3}) \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.5.2

约去公因数。

$\frac{5625}{16} + 2 (2 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3}) \frac{5 i}{2} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.5.3

重写表达式。

$\frac{5625}{16} + 2 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} (5 i) + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.6

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + 10 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.7.1

对 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.7.2

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.8

化简分子。

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解题步骤 3.1.8.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.8.2

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{125 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.8.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{125 \sqrt{27}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.8.4

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.8.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{125 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.8.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.8.5

从根式下提出各项。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{125 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.8.6

将 $125$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{375 \sqrt{3}}{2^{3}} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + 10 \frac{375 \sqrt{3}}{8} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.10

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.10.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + 2 (5) \frac{375 \sqrt{3}}{8} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.10.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + 2 \cdot 5 \frac{375 \sqrt{3}}{2 \cdot 4} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.10.3

约去公因数。

$\frac{5625}{16} + 2 \cdot 5 \frac{375 \sqrt{3}}{2 \cdot 4} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.10.4

重写表达式。

$\frac{5625}{16} + 5 \frac{375 \sqrt{3}}{4} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.11

组合 $5$ 和 $\frac{375 \sqrt{3}}{4}$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{5 (375 \sqrt{3})}{4} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.12

将 $375$ 乘以 $5$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3}}{4} i + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.13

组合 $\frac{1875 \sqrt{3}}{4}$ 和 $i$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.14

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.14.1

对 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.14.2

对 $5 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.15

化简分子。

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解题步骤 3.1.15.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.15.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.15.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.15.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.15.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.15.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.15.2.4.1

约去公因数。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.15.2.4.2

重写表达式。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{25 \cdot 3^{1}}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.15.2.5

计算指数。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{25 \cdot 3}{2^{2}} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.16

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 \frac{25 \cdot 3}{4} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.17

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 6 (\frac{75}{4}) {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.18

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.18.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 2 (3) \frac{75}{4} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.18.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 2 \cdot 3 \frac{75}{2 \cdot 2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.18.3

约去公因数。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 2 \cdot 3 \frac{75}{2 \cdot 2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.18.4

重写表达式。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + 3 (\frac{75}{2}) {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.19

组合 $3$ 和 $\frac{75}{2}$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{3 \cdot 75}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.20

将 $3$ 乘以 $75$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.21

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.21.1

对 $\frac{5 i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225}{2} \cdot \frac{{(5 i)}^{2}}{2^{2}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.21.2

对 $5 i$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225}{2} \cdot \frac{5^{2} i^{2}}{2^{2}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.22

合并。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225 (5^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.23

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.23.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.23.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225 (5^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.23.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225 (5^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.23.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225 (5^{2} i^{2})}{2^{3}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.24

化简分子。

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解题步骤 3.1.24.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225 \cdot 25 i^{2}}{2^{3}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.24.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{225 \cdot 25 \cdot - 1}{2^{3}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.24.3

合并指数。

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解题步骤 3.1.24.3.1

将 $225$ 乘以 $25$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{5625 \cdot - 1}{2^{3}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.24.3.2

将 $5625$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 5625}{2^{3}} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.25

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} + \frac{- 5625}{8} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.26

将负号移到分数的前面。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 4 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.27

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.27.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 2 (2) \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.27.2

约去公因数。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 2 \cdot 2 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.27.3

重写表达式。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 2 (5 \sqrt{3}) {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.28

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} {(\frac{5 i}{2})}^{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.29

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.29.1

对 $\frac{5 i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{{(5 i)}^{3}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.29.2

对 $5 i$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{5^{3} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.30

化简分子。

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解题步骤 3.1.30.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{125 i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.30.2

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{125 (i^{2} \cdot i)}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.30.3

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{125 (- 1 \cdot i)}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.30.4

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{125 \cdot - 1 i}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.30.5

合并指数。

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解题步骤 3.1.30.5.1

提取负因数。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{- (125 i)}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.30.5.2

将 $125$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{- 125 i}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.31

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 10 \sqrt{3} \frac{- 125 i}{8} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.32

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.32.1

从 $10 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{- 125 i}{8} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.32.2

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{- 125 i}{2 (4)} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.32.3

约去公因数。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{- 125 i}{2 \cdot 4} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.32.4

重写表达式。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + 5 \sqrt{3} \frac{- 125 i}{4} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.33

组合 $\frac{- 125 i}{4}$ 和 $5$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + \frac{- 125 i \cdot 5}{4} \sqrt{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.34

将 $5$ 乘以 $- 125$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + \frac{- 625 i}{4} \sqrt{3} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.35

组合 $\frac{- 625 i}{4}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} + \frac{- 625 i \sqrt{3}}{4} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.36

将负号移到分数的前面。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + {(\frac{5 i}{2})}^{4}$

解题步骤 3.1.37

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.37.1

对 $\frac{5 i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{{(5 i)}^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 3.1.37.2

对 $5 i$ 运用乘积法则。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{5^{4} i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 3.1.38

化简分子。

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解题步骤 3.1.38.1

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{625 i^{4}}{2^{4}}$

解题步骤 3.1.38.2

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 3.1.38.2.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{625 {(i^{2})}^{2}}{2^{4}}$

解题步骤 3.1.38.2.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{625 {(- 1)}^{2}}{2^{4}}$

解题步骤 3.1.38.2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{625 \cdot 1}{2^{4}}$

解题步骤 3.1.39

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{625 \cdot 1}{16}$

解题步骤 3.1.40

将 $625$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i}{4} - \frac{5625}{8} - \frac{625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{625}{16}$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{5625 + 625}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i - 625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.2.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $5625$ 和 $625$ 相加。

$\frac{6250}{16} + \frac{1875 \sqrt{3} i - 625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.2.2.2

重新排序 $1875 \sqrt{3} i$ 的因式。

$\frac{6250}{16} + \frac{1875 i \sqrt{3} - 625 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.2.3

从 $1875 i \sqrt{3}$ 中减去 $625 i \sqrt{3}$ 。

$\frac{6250}{16} + \frac{1250 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1

约去 $6250$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $6250$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3125)}{16} + \frac{1250 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3125}{2 \cdot 8} + \frac{1250 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3125}{2 \cdot 8} + \frac{1250 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{3125}{8} + \frac{1250 i \sqrt{3}}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3.2

约去 $1250$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $1250 i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3125}{8} + \frac{2 (625 i \sqrt{3})}{4} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3125}{8} + \frac{2 (625 i \sqrt{3})}{2 (2)} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3125}{8} + \frac{2 (625 i \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{3125}{8} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5625}{8}$

解题步骤 3.3.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{3125}{8} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5625}{8}$

解题步骤 3.4

合并分数。

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解题步骤 3.4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3125 - 5625}{8} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2

从 $3125$ 中减去 $5625$ 。

$\frac{- 2500}{8} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.5

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1

约去 $- 2500$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $- 2500$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 625)}{8} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.5.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 625}{4 \cdot 2} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.5.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 625}{4 \cdot 2} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.5.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 625}{2} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{625}{2} + \frac{625 i \sqrt{3}}{2}$

三角学 示例

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