三角学示例

${(5 (\cos (80 °) + i \sin (80 °)))}^{3}$

解题步骤 1

运用分配律。

${(5 \cos (80 °) + 5 (i \sin (80 °)))}^{3}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${(5 \cos (80 °))}^{3} + 3 {(5 \cos (80 °))}^{2} (5 i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $5 \cos (80 °)$ 运用乘积法则。

$5^{3} \cos^{3} (80 °) + 3 {(5 \cos (80 °))}^{2} (5 i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.2

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 {(5 \cos (80 °))}^{2} (5 i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.3

对 $5 \cos (80 °)$ 运用乘积法则。

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5^{2} \cos^{2} (80 °)) (5 i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.4

通过指数相加将 $5^{2}$ 乘以 $5$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

移动 $5$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5 \cdot 5^{2} \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.4.2

将 $5$ 乘以 $5^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.4.2.1

对 $5$ 进行 $1$ 次方运算。

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5^{1} \cdot 5^{2} \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5^{1 + 2} \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (5^{3} \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.5

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 \cos^{3} (80 °) + 3 (125 \cos^{2} (80 °)) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.6

将 $125$ 乘以 $3$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) (i \sin (80 °)) + 3 (5 \cos (80 °)) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.7

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) {(5 i \sin (80 °))}^{2} + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.8.1

对 $5 i \sin (80 °)$ 运用乘积法则。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) ({(5 i)}^{2} \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.8.2

对 $5 i$ 运用乘积法则。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) (5^{2} i^{2} \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.9

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) (25 i^{2} \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.10

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) (25 \cdot - 1 \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.11

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) + 15 \cos (80 °) (- 25 \sin^{2} (80 °)) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.12

将 $- 25$ 乘以 $15$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + {(5 i \sin (80 °))}^{3}$

解题步骤 3.1.13

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.13.1

对 $5 i \sin (80 °)$ 运用乘积法则。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + {(5 i)}^{3} \sin^{3} (80 °)$

解题步骤 3.1.13.2

对 $5 i$ 运用乘积法则。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 5^{3} i^{3} \sin^{3} (80 °)$

解题步骤 3.1.14

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 i^{3} \sin^{3} (80 °)$

解题步骤 3.1.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 (i^{2} \cdot i) \sin^{3} (80 °)$

解题步骤 3.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 (- 1 \cdot i) \sin^{3} (80 °)$

解题步骤 3.1.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 (- i) \sin^{3} (80 °)$

解题步骤 3.1.18

将 $- 1$ 乘以 $125$ 。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) - 125 i \sin^{3} (80 °)$

解题步骤 3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1

将 $125 \cos^{3} (80 °) + 375 \cos^{2} (80 °) i \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) - 125 i \sin^{3} (80 °)$ 中的因式重新排序。

$125 \cos^{3} (80 °) + 375 i \cos^{2} (80 °) \sin (80 °) - 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) - 125 i \sin^{3} (80 °)$

解题步骤 3.2.2

将 $125 \cos^{3} (80 °) + 375 i \cos^{2} (80 °) \sin (80 °)$ 和 $- 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °)$ 重新排序。

$- 375 \cos (80 °) \sin^{2} (80 °) + 125 \cos^{3} (80 °) + 375 i \cos^{2} (80 °) \sin (80 °) - 125 i \sin^{3} (80 °)$

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