三角学示例

x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8

$x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解

$x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

$p$ 为常数的因数，而

$q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 1.3

代入

$2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于

$0$ ，所以

$2$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将

$2$ 代入多项式。

$2^{4} - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$

解题步骤 1.3.2

对

$2$ 进行

$4$ 次方运算。

$16 - 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 8$

解题步骤 1.3.3

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$16 - 4 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 8$

解题步骤 1.3.4

将

$- 4$ 乘以

$4$ 。

$16 - 16 - 4 \cdot 2 + 8$

解题步骤 1.3.5

从

$16$ 中减去

$16$ 。

$0 - 4 \cdot 2 + 8$

解题步骤 1.3.6

将

$- 4$ 乘以

$2$ 。

$0 - 8 + 8$

解题步骤 1.3.7

从

$0$ 中减去

$8$ 。

$- 8 + 8$

解题步骤 1.3.8

将

$- 8$ 和

$8$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为

$2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以

$x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8}{x - 2}$

解题步骤 1.5

用

$x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ 除以

$x - 2$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带

$0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项

$x^{4}$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$x^{4} - 2 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项

$2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$2 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项

$- 4 x$ 除以除数中的最高阶项

$x$ 。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变

$- 4 x + 8$ 中的所有符号

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$8$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

$4 x$

$8$

$4 x$

$8$

$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为

$0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} + 2 x^{2} + 0 x - 4$

解题步骤 1.6

将

$x^{4} - 4 x^{2} - 4 x + 8$ 书写为因数的集合。

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 0 x - 4)$

解题步骤 2

将

$0$ 乘以

$x$ 。

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} + 0 - 4)$

解题步骤 3

将

$x^{3}$ 和

$0$ 相加。

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2} - 4)$

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