三角学示例

$f (t) = \frac{2}{3} \cos (t)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$\frac{2}{3} (- \sin (t))$

解题步骤 1.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\sin (t)$ 。

$- \frac{2 \sin (t)}{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{2 \sin (t)}{3}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 。

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d t} \sin (t)$

解题步骤 2.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

组合 $\cos (t)$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$f'' (t) = - \frac{\cos (t) \cdot 2}{3}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (t)$ 的左侧。

$f'' (t) = - \frac{2 \cos (t)}{3}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{2 \sin (t)}{3} = 0$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$2 \sin (t) = 0$

解题步骤 5

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $2 \sin (t) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $2 \sin (t) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.1.2.1.2

用 $\sin (t)$ 除以 $1$ 。

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\sin (t) = 0$

解题步骤 5.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$t = \arcsin (0)$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 5.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$t = π - 0$

解题步骤 5.5

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$t = π$

解题步骤 5.6

方程 $t = 0$ 的解。

$t = 0, π$

解题步骤 6

计算在 $t = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 \cos (0)}{3}$

解题步骤 7

计算二阶导数。

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解题步骤 7.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{2 \cdot 1}{3}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{3}$

解题步骤 8

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = 0$ 是一个极大值

解题步骤 9

求 $t = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $t$ 。

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot \cos (0)$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = \frac{2}{3}$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 10

计算在 $t = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2 \cos (π)}{3}$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \frac{2 (- \cos (0))}{3}$

解题步骤 11.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- \frac{2 (- 1 \cdot 1)}{3}$

解题步骤 11.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 11.2

化简表达式。

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解题步骤 11.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{- 2}{3}$

解题步骤 11.2.2

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{2}{3}$

解题步骤 11.3

乘以 $- - \frac{2}{3}$ 。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{2}{3})$

解题步骤 11.3.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $t = π$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$t = π$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $t = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $t$ 。

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (0))$

解题步骤 13.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 13.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot - 1$

解题步骤 13.2.4

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 13.2.4.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f (π) = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

解题步骤 13.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (π) = \frac{- 2}{3}$

解题步骤 13.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (π) = - \frac{2}{3}$

解题步骤 13.2.6

最终答案为 $- \frac{2}{3}$ 。

$y = - \frac{2}{3}$

解题步骤 14

这些是 $f (t) = \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ 的局部极值。

$(0, \frac{2}{3})$ 是一个局部最大值

$(π, - \frac{2}{3})$ 是一个局部最小值

解题步骤 15

三角学 示例

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