三角学示例

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arccos (π y)$ 。

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

解题步骤 2.3

在等式两边都加上 $3$ 。

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

解题步骤 2.4

两边同时乘以 $2$ 。

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.1

约去公因数。

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

解题步骤 2.5.1.1.2

重写表达式。

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 $(x + 3) \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

运用分配律。

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

解题步骤 2.5.2.1.2

化简表达式。

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解题步骤 2.5.2.1.2.1

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

解题步骤 2.5.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

解题步骤 2.6

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.6.1

取方程两边的逆反余弦从而提取反余弦内的 $y$ 。

$π y = \cos (2 x + 6)$

解题步骤 2.6.2

将 $π y = \cos (2 x + 6)$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $π y = \cos (2 x + 6)$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

解题步骤 2.6.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ 是否为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arccos (π x)$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

解题步骤 4.2.3.1.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

解题步骤 4.2.3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

解题步骤 4.2.3.1.3.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

解题步骤 4.2.3.2

合并 $\arccos (π x) - 6 + 6$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.3.2.1

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 $\arccos (π x)$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

解题步骤 4.2.3.3

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

解题步骤 4.2.4

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ 。

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1.1

约去公因数。

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

解题步骤 4.3.3.1.2

重写表达式。

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

解题步骤 4.3.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\arccos (\cos (2 x + 6))$ 。

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ 为 $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

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