三角学示例

$f (t) = - 3 \cos (t)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3 \cos (t)$ 对 $t$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ 。

$- 3 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- 3 (- \sin (t))$

解题步骤 1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$3 \sin (t)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 \sin (t)$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ 。

$f'' (t) = 3 \frac{d}{d t} (\sin (t))$

解题步骤 2.2

$\sin (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\cos (t)$ 。

$f'' (t) = 3 \cos (t)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 \sin (t) = 0$

解题步骤 4

将 $3 \sin (t) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $3 \sin (t) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \sin (t)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \sin (t)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $\sin (t)$ 除以 $1$ 。

$\sin (t) = \frac{0}{3}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\sin (t) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$t = \arcsin (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 7

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$t = π - 0$

解题步骤 8

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$t = π$

解题步骤 9

方程 $t = 0$ 的解。

$t = 0, π$

解题步骤 10

计算在 $t = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$3 \cos (0)$

解题步骤 11

计算二阶导数。

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解题步骤 11.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 11.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 12

因为二阶导数的值为正数，所以 $t = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$t = 0$ 是一个极小值

解题步骤 13

求 $t = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 13.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $t$ 。

$f (0) = - 3 \cos (0)$

解题步骤 13.2

化简结果。

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解题步骤 13.2.1

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = - 3 \cdot 1$

解题步骤 13.2.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f (0) = - 3$

解题步骤 13.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 14

计算在 $t = π$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$3 \cos (π)$

解题步骤 15

计算二阶导数。

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解题步骤 15.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$3 (- \cos (0))$

解题步骤 15.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.3

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 15.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 \cdot - 1$

解题步骤 15.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3$

解题步骤 16

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = π$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = π$ 是一个极大值

解题步骤 17

求 $t = π$ 时的 y 值。

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解题步骤 17.1

使用表达式中的 $π$ 替换变量 $t$ 。

$f (π) = - 3 \cos (π)$

解题步骤 17.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (π) = - 3 (- \cos (0))$

解题步骤 17.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (π) = - 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 17.2.3

乘以 $- 3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 17.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (π) = - 3 \cdot - 1$

解题步骤 17.2.3.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (π) = 3$

解题步骤 17.2.4

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 18

这些是 $f (t) = - 3 \cos (t)$ 的局部极值。

$(0, - 3)$ 是一个局部最小值

$(π, 3)$ 是一个局部最大值

解题步骤 19

三角学 示例

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