三角学示例

y = sin (x) - 6

$y = \sin (x) - 6$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则，

sin (x) - 6

$\sin (x) - 6$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6]

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

\frac{d}{d x} [sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6]

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.2

sin (x)

$\sin (x)$ 对

x

$x$ 的导数为

cos (x)

$\cos (x)$ 。

cos (x) + \frac{d}{d x} [- 6]

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- 6]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为

- 6

$- 6$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- 6

$- 6$ 对

x

$x$ 的导数为

0

$0$ 。

cos (x) + 0

$\cos (x) + 0$

解题步骤 1.3.2

将

cos (x)

$\cos (x)$ 和

0

$0$ 相加。

cos (x)

$\cos (x)$

cos (x)

$\cos (x)$

cos (x)

$\cos (x)$

解题步骤 2

cos (x)

$\cos (x)$ 对

x

$x$ 的导数为

- sin (x)

$- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的

$x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arccos (0)$ 的准确值为

$\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从

$2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 7

化简

$2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 7.1

要将

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.1

组合

$2 π$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 7.3.2

从

$4 π$ 中减去

$π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8

方程

$x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9

计算在

$x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 10.2

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$- 1$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 12

求

$x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的

$\frac{π}{2}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2}) - 6$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 1 - 6$

解题步骤 12.2.2

从

$1$ 中减去

$6$ 。

$f (\frac{π}{2}) = - 5$

解题步骤 12.2.3

最终答案为

$- 5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 13

计算在

$x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 14.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$1$ 。

$- (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 14.3

乘以

$- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 14.3.1

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$- - 1$

解题步骤 14.3.2

将

$- 1$ 乘以

$- 1$ 。

$1$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 16

求

$x = \frac{3 π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的

$\frac{3 π}{2}$ 替换变量

$x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2}) - 6$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2}) - 6$

解题步骤 16.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为

$1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1 - 6$

解题步骤 16.2.1.3

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 - 6$

解题步骤 16.2.2

从

$- 1$ 中减去

$6$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 7$

解题步骤 16.2.3

最终答案为

$- 7$ 。

$y = - 7$

解题步骤 17

这些是

$f (x) = \sin (x) - 6$ 的局部极值。

$(\frac{π}{2}, - 5)$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 π}{2}, - 7)$ 是一个局部最小值

解题步骤 18

三角学 示例

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