三角学示例

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ , $(0, 2 π)$

解题步骤 1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2

从 $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.3

从 $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 5.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 5.2.5.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2.6

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

求在区间 $(0, 2 π)$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 8.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 8.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{2} + π (0)$

解题步骤 8.1.2

化简。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{2} + 0$

解题步骤 8.1.2.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{2}$

解题步骤 8.1.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $(0, 2 π)$ 中。

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解题步骤 8.2.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{2} + π (1)$

解题步骤 8.2.2

化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{2} + π$

解题步骤 8.2.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 8.2.2.3

合并分数。

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解题步骤 8.2.2.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

解题步骤 8.2.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

解题步骤 8.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 8.2.2.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

解题步骤 8.2.2.4.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 8.2.3

区间 $(0, 2 π)$ 包含 $\frac{3 π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

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