三角学示例

$x^{3} + 8 i = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $8 i$ 。

$x^{3} = - 8 i$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = 0$ 和 $b = - 8$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{64}$

解题步骤 5.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 5.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 8$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

解题步骤 7

因为自变量无定义且 $b$ 是负数，所以复平面上该点的角度为 $\frac{3 π}{2}$ 。

$θ = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8

代入 $θ = \frac{3 π}{2}$ 和 $| z | = 8$ 的值。

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 9

使用三角函数替换等式的右边。

$x^{3} = 8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

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