三角学示例

$2 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \tan (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\tan (x)$ 。

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

解题步骤 1.2.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 \tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $2 \tan (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 \tan (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $2 \tan (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \tan (x) = - 1$

解题步骤 3.2.2

将 $2 \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

计算 $\arctan (- \frac{1}{2})$ 。

$x = - 0.4636476$

解题步骤 3.2.5

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

解题步骤 3.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $2 π$ 加上 $- 0.4636476 - (3.14159265)$ 。

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 3.2.6.2

得出的角 $2.67794504$ 是正角度且与 $- 0.4636476 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 2.67794504$

解题步骤 3.2.7

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 3.2.7.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 3.2.8

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $π$ 加到 $- 0.4636476$ 以求正角。

$- 0.4636476 + π$

解题步骤 3.2.8.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 0.4636476$

解题步骤 3.2.8.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.4636476$ 。

$2.67794504$

解题步骤 3.2.8.4

列出新角。

$x = 2.67794504$

解题步骤 3.2.9

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.67794504 + π n, 2.67794504 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\tan (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.4

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 4.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 4.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 4.2.5.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 4.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $(2 \tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2.67794504 + π n, 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

合并答案。

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解题步骤 6.1

将 $2.67794504 + π n$ 和 $2.67794504 + π n$ 合并为 $2.67794504 + π n$ 。

$x = 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.2

将 $\frac{π}{4} + π n$ 和 $\frac{5 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + π n$ 。

$x = 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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