三角学示例

$\sqrt{{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 1

将 ${(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ 。

$\sqrt{(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\sqrt{\sqrt{6} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\sqrt{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\sqrt{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{6 + \sqrt{6} (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.5

乘以 $\sqrt{6} (- 2 \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.5.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.6

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.6.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{6 - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.7

从根式下提出各项。

$\sqrt{6 - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.8

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} \sqrt{6} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.9

乘以 $- 2 \sqrt{3} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 3.1.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{6 \cdot 3} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.9.2

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{18} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.10

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.1.10.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{9 (2)} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.10.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3^{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.11

从根式下提出各项。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 2 (3 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.12

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.13

乘以 $- 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 3.1.13.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.13.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.13.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.13.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.13.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {\sqrt{3}}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.14

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.14.4.1

约去公因数。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.14.4.2

重写表达式。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3^{1} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.14.5

计算指数。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 4 \cdot 3 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.1.15

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{6 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + 12 + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 $6$ 和 $12$ 相加。

$\sqrt{18 - 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 3.3

从 $- 6 \sqrt{2}$ 中减去 $6 \sqrt{2}$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + {(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 4

将 ${(5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6} + \sqrt{3})}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

乘以 $5 \sqrt{6} (5 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \sqrt{6} \sqrt{6} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.1.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.1.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {\sqrt{6}}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.2

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6^{1} + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.2.5

计算指数。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 25 \cdot 6 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.3

将 $25$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.4

乘以 $5 \sqrt{6} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.5

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.1.5.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.5.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.6

从根式下提出各项。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.7

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} (5 \sqrt{6}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.8

乘以 $\sqrt{3} (5 \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 6.1.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.8.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{18} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.9

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.1.9.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{9 (2)} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.9.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.10

从根式下提出各项。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 5 (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.11

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 6.1.12

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

解题步骤 6.1.13

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{9}}$

解题步骤 6.1.14

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + \sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 6.1.15

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 150 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2} + 3}$

解题步骤 6.2

将 $150$ 和 $3$ 相加。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 15 \sqrt{2} + 15 \sqrt{2}}$

解题步骤 6.3

将 $15 \sqrt{2}$ 和 $15 \sqrt{2}$ 相加。

$\sqrt{18 - 12 \sqrt{2} + 153 + 30 \sqrt{2}}$

解题步骤 7

将 $18$ 和 $153$ 相加。

$\sqrt{171 - 12 \sqrt{2} + 30 \sqrt{2}}$

解题步骤 8

将 $- 12 \sqrt{2}$ 和 $30 \sqrt{2}$ 相加。

$\sqrt{171 + 18 \sqrt{2}}$

解题步骤 9

将 $171 + 18 \sqrt{2}$ 重写为 $3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 9.1

从 $171$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sqrt{9 (19) + 18 \sqrt{2}}$

解题步骤 9.2

从 $18 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sqrt{9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 9.3

从 $9 (19) + 9 (2 \sqrt{2})$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sqrt{9 (19 + 2 \sqrt{2})}$

解题步骤 9.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sqrt{3^{2} (19 + 2 \sqrt{2})}$

解题步骤 10

从根式下提出各项。

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$3 \sqrt{19 + 2 \sqrt{2}}$

小数形式：

$14.01627069 \dots$

三角学 示例

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