三角学示例

$\sqrt{\frac{1 - (- \frac{5 \sqrt{61}}{61})}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

解题步骤 1

乘以 $- (- \frac{5 \sqrt{61}}{61})$ 。

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解题步骤 1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{5 \sqrt{61}}{61}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1 + \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

解题步骤 2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{61}{61} + \frac{5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{1 - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

解题步骤 4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{\frac{61}{61} - \frac{5 \sqrt{61}}{61}}}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61}}{\frac{61 - 5 \sqrt{61}}{61}}}$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61} \cdot \frac{61}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

解题步骤 7

约去 $61$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61} \cdot \frac{61}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}}$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}$ 乘以 $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}}$ 。

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) (\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}} \cdot \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}})}$

解题步骤 9

将 $\frac{1}{61 - 5 \sqrt{61}}$ 乘以 $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 + 5 \sqrt{61}}$ 。

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{(61 - 5 \sqrt{61}) (61 + 5 \sqrt{61})}}$

解题步骤 10

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{3721 + 305 \sqrt{61} - 305 \sqrt{61} - 25 {\sqrt{61}}^{2}}}$

解题步骤 11

化简。

$\sqrt{(61 + 5 \sqrt{61}) \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

解题步骤 12

运用分配律。

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

解题步骤 13

约去 $61$ 的公因数。

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解题步骤 13.1

从 $2196$ 中分解出因数 $61$ 。

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 (36)} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\sqrt{61 \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{61 \cdot 36} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + 5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}}$

解题步骤 14

乘以 $5 \sqrt{61} \frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}$ 。

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解题步骤 14.1

组合 $\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{2196}$ 和 $5$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196} \sqrt{61}}$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196}$ 和 $\sqrt{61}$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5 \sqrt{61}}{2196}}$

解题步骤 15

化简每一项。

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解题步骤 15.1

将 $\sqrt{61}$ 和 $61 + 5 \sqrt{61}$ 分成一组。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{\sqrt{61} (61 + 5 \sqrt{61}) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(\sqrt{61} \cdot 61 + \sqrt{61} (5 \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.3

将 $61$ 移到 $\sqrt{61}$ 的左侧。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + \sqrt{61} (5 \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.4

乘以 $\sqrt{61} (5 \sqrt{61})$ 。

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解题步骤 15.4.1

对 $\sqrt{61}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 ({\sqrt{61}}^{1} \sqrt{61})) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.4.2

对 $\sqrt{61}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 ({\sqrt{61}}^{1} {\sqrt{61}}^{1})) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 {\sqrt{61}}^{1 + 1}) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \cdot \sqrt{61} + 5 {\sqrt{61}}^{2}) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.5

化简每一项。

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解题步骤 15.5.1

将 ${\sqrt{61}}^{2}$ 重写为 $61$ 。

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解题步骤 15.5.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{61}$ 重写成 $61^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 {(61^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.5.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{1}{2} \cdot 2}) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.5.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.5.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.5.1.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{\frac{2}{2}}) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.5.1.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61^{1}) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.5.1.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 5 \cdot 61) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.5.2

将 $5$ 乘以 $61$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(61 \sqrt{61} + 305) \cdot 5}{2196}}$

解题步骤 15.6

约去 $61 \sqrt{61} + 305$ 和 $2196$ 的公因数。

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解题步骤 15.6.1

从 $(61 \sqrt{61} + 305) \cdot 5$ 中分解出因数 $61$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{2196}}$

解题步骤 15.6.2

约去公因数。

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解题步骤 15.6.2.1

从 $2196$ 中分解出因数 $61$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{61 (36)}}$

解题步骤 15.6.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{61 ((\sqrt{61} + 5) \cdot 5)}{61 \cdot 36}}$

解题步骤 15.6.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{(\sqrt{61} + 5) \cdot 5}{36}}$

解题步骤 15.7

将 $5$ 移到 $\sqrt{61} + 5$ 的左侧。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61}}{36} + \frac{5 (\sqrt{61} + 5)}{36}}$

解题步骤 16

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 (\sqrt{61} + 5)}{36}}$

解题步骤 17

化简每一项。

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解题步骤 17.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61} + 5 \cdot 5}{36}}$

解题步骤 17.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{61 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61} + 25}{36}}$

解题步骤 18

化简项。

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解题步骤 18.1

将 $61$ 和 $25$ 相加。

$\sqrt{\frac{86 + 5 \sqrt{61} + 5 \sqrt{61}}{36}}$

解题步骤 18.2

将 $5 \sqrt{61}$ 和 $5 \sqrt{61}$ 相加。

$\sqrt{\frac{86 + 10 \sqrt{61}}{36}}$

解题步骤 18.3

约去 $86 + 10 \sqrt{61}$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.1

从 $86$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (43) + 10 \sqrt{61}}{36}}$

解题步骤 18.3.2

从 $10 \sqrt{61}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (43) + 2 (5 \sqrt{61})}{36}}$

解题步骤 18.3.3

从 $2 (43) + 2 (5 \sqrt{61})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{36}}$

解题步骤 18.3.4

约去公因数。

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解题步骤 18.3.4.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{2 \cdot 18}}$

解题步骤 18.3.4.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 (43 + 5 \sqrt{61})}{2 \cdot 18}}$

解题步骤 18.3.4.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{43 + 5 \sqrt{61}}{18}}$

解题步骤 19

将 $\sqrt{\frac{43 + 5 \sqrt{61}}{18}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{18}}$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{18}}$

解题步骤 20

化简分母。

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解题步骤 20.1

将 $18$ 重写为 $3^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 20.1.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{9 (2)}}$

解题步骤 20.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{\sqrt{3^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 20.2

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$

解题步骤 21

将 $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 22

合并和化简分母。

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解题步骤 22.1

将 $\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}}}{3 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 22.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 22.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 22.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 22.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 22.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 22.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 22.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 22.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 22.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 22.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 22.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 22.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 22.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{43 + 5 \sqrt{61}} \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

解题步骤 23

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{3 \cdot 2}$

解题步骤 24

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{6}$

解题步骤 25

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{(43 + 5 \sqrt{61}) \cdot 2}}{6}$

小数形式：

$2.13504161 \dots$

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