三角学示例

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

解题步骤 1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{5}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

解题步骤 2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{1 - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

解题步骤 3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{\frac{5}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5}}}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{11}}{5}}{\frac{5 - \sqrt{11}}{5}}}$

解题步骤 5

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{5 - \sqrt{11}}}$

解题步骤 6

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5 + \sqrt{11}}{5} \cdot \frac{5}{5 - \sqrt{11}}}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{1}{5 - \sqrt{11}}}$

解题步骤 7

将 $\frac{1}{5 - \sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}}$ 。

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) (\frac{1}{5 - \sqrt{11}} \cdot \frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}})}$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{5 - \sqrt{11}}$ 乘以 $\frac{5 + \sqrt{11}}{5 + \sqrt{11}}$ 。

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{(5 - \sqrt{11}) (5 + \sqrt{11})}}$

解题步骤 8.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{25 + 5 \sqrt{11} - 5 \sqrt{11} - {\sqrt{11}}^{2}}}$

解题步骤 8.3

化简。

$\sqrt{(5 + \sqrt{11}) \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

解题步骤 8.4

运用分配律。

$\sqrt{5 \frac{5 + \sqrt{11}}{14} + \sqrt{11} \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

解题步骤 8.5

组合 $5$ 和 $\frac{5 + \sqrt{11}}{14}$ 。

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11})}{14} + \sqrt{11} \frac{5 + \sqrt{11}}{14}}$

解题步骤 8.6

组合 $\sqrt{11}$ 和 $\frac{5 + \sqrt{11}}{14}$ 。

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11})}{14} + \frac{\sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

解题步骤 8.7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{5 (5 + \sqrt{11}) + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

解题步骤 9.2

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} (5 + \sqrt{11})}{14}}$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11} \cdot 5 + \sqrt{11} \sqrt{11}}{14}}$

解题步骤 9.4

将 $5$ 移到 $\sqrt{11}$ 的左侧。

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11} \sqrt{11}}{14}}$

解题步骤 9.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \cdot \sqrt{11} + \sqrt{11 \cdot 11}}{14}}$

解题步骤 9.6

化简每一项。

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解题步骤 9.6.1

将 $11$ 乘以 $11$ 。

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + \sqrt{121}}{14}}$

解题步骤 9.6.2

将 $121$ 重写为 $11^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + \sqrt{11^{2}}}{14}}$

解题步骤 9.6.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sqrt{\frac{25 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11} + 11}{14}}$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

将 $25$ 和 $11$ 相加。

$\sqrt{\frac{36 + 5 \sqrt{11} + 5 \sqrt{11}}{14}}$

解题步骤 10.2

将 $5 \sqrt{11}$ 和 $5 \sqrt{11}$ 相加。

$\sqrt{\frac{36 + 10 \sqrt{11}}{14}}$

解题步骤 10.3

约去 $36 + 10 \sqrt{11}$ 和 $14$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

从 $36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (18) + 10 \sqrt{11}}{14}}$

解题步骤 10.3.2

从 $10 \sqrt{11}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (18) + 2 (5 \sqrt{11})}{14}}$

解题步骤 10.3.3

从 $2 (18) + 2 (5 \sqrt{11})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{14}}$

解题步骤 10.3.4

约去公因数。

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解题步骤 10.3.4.1

从 $14$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{2 \cdot 7}}$

解题步骤 10.3.4.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2 (18 + 5 \sqrt{11})}{2 \cdot 7}}$

解题步骤 10.3.4.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{18 + 5 \sqrt{11}}{7}}$

解题步骤 11

将 $\sqrt{\frac{18 + 5 \sqrt{11}}{7}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 12

将 $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 13

合并和化简分母。

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解题步骤 13.1

将 $\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 13.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

解题步骤 13.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

解题步骤 13.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 13.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 13.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 13.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 13.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 13.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 13.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 13.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7^{1}}$

解题步骤 13.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{18 + 5 \sqrt{11}} \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 14

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{(18 + 5 \sqrt{11}) \cdot 7}}{7}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{(18 + 5 \sqrt{11}) \cdot 7}}{7}$

小数形式：

$2.22271146 \dots$

三角学 示例

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