三角学示例

$\sqrt{\frac{78 - \sqrt{7}}{1} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 1

要将 $\frac{78 - \sqrt{7}}{1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ 。

$\sqrt{\frac{78 - \sqrt{7}}{1} \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 2

将 $\frac{78 - \sqrt{7}}{1}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ 。

$\sqrt{\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})}{3 - \sqrt{7}} + \frac{2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4

以因式分解的形式重写 $\frac{(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}$ 。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(78 - \sqrt{7}) (3 - \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{78 (3 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\sqrt{\frac{78 \cdot 3 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (3 - \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\sqrt{\frac{78 \cdot 3 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $78$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{234 + 78 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $78$ 。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 3 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7}) + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.4

乘以 $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.4.2

将 $\sqrt{7}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.4.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.4.4

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.5

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.5.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.5.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7^{1} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.1.5.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{234 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 7 + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.2

将 $234$ 和 $7$ 相加。

$\sqrt{\frac{241 - 78 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.2.3

从 $- 78 \sqrt{7}$ 中减去 $3 \sqrt{7}$ 。

$\sqrt{\frac{241 - 81 \sqrt{7} + 2}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 4.3

将 $241$ 和 $2$ 相加。

$\sqrt{\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}}$

解题步骤 5

将 $\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$ 。

$\sqrt{\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} \cdot \frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}}$

解题步骤 6

合并分数。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{243 - 81 \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{7}}{3 + \sqrt{7}}$ 。

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}}$

解题步骤 6.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{9 + 3 \sqrt{7} - 3 \sqrt{7} - {\sqrt{7}}^{2}}}$

解题步骤 6.3

化简。

$\sqrt{\frac{(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})}{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

使用 FOIL 方法展开 $(243 - 81 \sqrt{7}) (3 + \sqrt{7})$ 。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$\sqrt{\frac{243 (3 + \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (3 + \sqrt{7})}{2}}$

解题步骤 7.1.2

运用分配律。

$\sqrt{\frac{243 \cdot 3 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (3 + \sqrt{7})}{2}}$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$\sqrt{\frac{243 \cdot 3 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 3 - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

解题步骤 7.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $243$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 3 - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.2

将 $3$ 乘以 $- 81$ 。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.3

乘以 $- 81 \sqrt{7} \sqrt{7}$ 。

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解题步骤 7.2.1.3.1

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{2}}$

解题步骤 7.2.1.3.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{2}}$

解题步骤 7.2.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.4

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 7.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{1}}{2}}$

解题步骤 7.2.1.4.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 81 \cdot 7}{2}}$

解题步骤 7.2.1.5

将 $- 81$ 乘以 $7$ 。

$\sqrt{\frac{729 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7} - 567}{2}}$

解题步骤 7.2.2

从 $729$ 中减去 $567$ 。

$\sqrt{\frac{162 + 243 \sqrt{7} - 243 \sqrt{7}}{2}}$

解题步骤 7.2.3

从 $243 \sqrt{7}$ 中减去 $243 \sqrt{7}$ 。

$\sqrt{\frac{162 + 0}{2}}$

解题步骤 7.2.4

将 $162$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{\frac{162}{2}}$

解题步骤 8

化简表达式。

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解题步骤 8.1

用 $162$ 除以 $2$ 。

$\sqrt{81}$

解题步骤 8.2

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\sqrt{9^{2}}$

解题步骤 8.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$9$

三角学 示例

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