三角学示例

$(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{- 2}{\sqrt{5}})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{- 2}{\sqrt{5}})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{1}{\sqrt{5}}, 0)$ 和 $(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{- 2}{\sqrt{5}})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{- 2}{\sqrt{5}}$

邻边： $\frac{1}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.5

计算指数。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{5^{1}}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{5}{5^{2}} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{5}{25} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.6

约去 $5$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 (1)}{25} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(\frac{- 2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2}{\sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))}^{2}}$

解题步骤 2.9

合并和化简分母。

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解题步骤 2.9.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.10.1

对 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

对 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.10.3

对 $2 \sqrt{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{5} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.11.2

将 $\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.12

化简分子。

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解题步骤 2.12.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.12.2

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.12.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.12.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.12.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.12.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.12.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

解题步骤 2.12.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

解题步骤 2.13

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.13.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

解题步骤 2.13.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{20}{25}}$

解题步骤 2.13.3

约去 $20$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 2.13.3.1

从 $20$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 (4)}{25}}$

解题步骤 2.13.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.13.3.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 2.13.3.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

解题步骤 2.13.3.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}$

解题步骤 2.13.4

化简表达式。

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解题步骤 2.13.4.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 4}{5}}$

解题步骤 2.13.4.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

解题步骤 2.13.4.3

用 $5$ 除以 $5$ 。

$\sqrt{1}$

解题步骤 2.13.4.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{1}$ 。

$\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{1}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

用 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{5}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 4.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 4.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 4.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 4.3.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.44721359$

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