三角学示例

$(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, 0)$ 和 $(\frac{- \sqrt{2}}{5}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

邻边： $\frac{- \sqrt{2}}{5}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{{(- \frac{\sqrt{2}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.2.1

对 $- \frac{\sqrt{2}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{5})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{2^{1}}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{2}{5^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{2}{25} + {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

对 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2}{2^{2}}}$

解题步骤 2.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2}{4}}$

解题步骤 2.8

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.8.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.8.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{2}{25} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.9

要将 $\frac{2}{25}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{2}{25} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.10

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\sqrt{\frac{2}{25} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

解题步骤 2.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $50$ 的形式。

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解题步骤 2.11.1

将 $\frac{2}{25}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

解题步骤 2.11.2

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25}}$

解题步骤 2.11.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{25}{2 \cdot 25}}$

解题步骤 2.11.4

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{50} + \frac{25}{50}}$

解题步骤 2.12

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + 25}{50}}$

解题步骤 2.13

化简分子。

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解题步骤 2.13.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{4 + 25}{50}}$

解题步骤 2.13.2

将 $4$ 和 $25$ 相加。

$\sqrt{\frac{29}{50}}$

解题步骤 2.14

将 $\sqrt{\frac{29}{50}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{50}}$ 。

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{50}}$

解题步骤 2.15

化简分母。

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解题步骤 2.15.1

将 $50$ 重写为 $5^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.15.1.1

从 $50$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{25 (2)}}$

解题步骤 2.15.1.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{5^{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.15.2

从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$

解题步骤 2.16

将 $\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.17

合并和化简分母。

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解题步骤 2.17.1

将 $\frac{\sqrt{29}}{5 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.17.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

解题步骤 2.17.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

解题步骤 2.17.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

解题步骤 2.17.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.17.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.17.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.17.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.17.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.17.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.17.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.17.7.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.17.7.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 2.17.7.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{29} \sqrt{2}}{5 \cdot 2}$

解题步骤 2.18

化简分子。

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解题步骤 2.18.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{29 \cdot 2}}{5 \cdot 2}$

解题步骤 2.18.2

将 $29$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{58}}{5 \cdot 2}$

解题步骤 2.19

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{58}}{10}$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{\frac{- \sqrt{2}}{5}}{\frac{\sqrt{58}}{10}}$ 。

$\frac{\frac{- \sqrt{2}}{5}}{\frac{\sqrt{58}}{10}}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{10}{\sqrt{58}}$

解题步骤 4.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{5 (2)}{\sqrt{58}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{- \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{58}}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\cos (θ) = - \sqrt{2} \frac{2}{\sqrt{58}}$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{2}{\sqrt{58}}$ 和 $\sqrt{2}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{58}}$

解题步骤 4.4

把 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{58}$ 组合为一个单根式。

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2}{58}})$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 和 $58$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 (1)}{58}})$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.2.1

从 $58$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 29}})$

解题步骤 4.5.2.2

约去公因数。

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 29}})$

解题步骤 4.5.2.3

重写表达式。

$\cos (θ) = - (2 \sqrt{\frac{1}{29}})$

解题步骤 4.6

将 $\sqrt{\frac{1}{29}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{29}}$ 。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{29}}))$

解题步骤 4.7

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{1}{\sqrt{29}}))$

解题步骤 4.8

将 $\frac{1}{\sqrt{29}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ 。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{1}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}))$

解题步骤 4.9

合并和化简分母。

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解题步骤 4.9.1

将 $\frac{1}{\sqrt{29}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ 。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

解题步骤 4.9.2

对 $\sqrt{29}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

解题步骤 4.9.3

对 $\sqrt{29}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}}))$

解题步骤 4.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}}))$

解题步骤 4.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}}))$

解题步骤 4.9.6

将 ${\sqrt{29}}^{2}$ 重写为 $29$ 。

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解题步骤 4.9.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{29}$ 重写成 $29^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}}))$

解题步骤 4.9.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}}))$

解题步骤 4.9.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}))$

解题步骤 4.9.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}}))$

解题步骤 4.9.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29}))$

解题步骤 4.9.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = - (2 (\frac{\sqrt{29}}{29}))$

解题步骤 4.10

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{29}}{29}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{29}}{29} \approx - 0.37139067$

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