三角学示例

$(- \frac{5}{12}, \frac{12}{13})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- \frac{5}{12}, \frac{12}{13})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- \frac{5}{12}, 0)$ 和 $(- \frac{5}{12}, \frac{12}{13})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{12}{13}$

邻边： $- \frac{5}{12}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{5}{12}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{12})}^{2} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{5}{12}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{12^{2}} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{5^{2}}{12^{2}} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{5^{2}}{12^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{5^{2}}{12^{2}} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{12^{2}} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{144} + {(\frac{12}{13})}^{2}}$

解题步骤 2.6

对 $\frac{12}{13}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{25}{144} + \frac{12^{2}}{13^{2}}}$

解题步骤 2.7

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{144} + \frac{144}{13^{2}}}$

解题步骤 2.8

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{144} + \frac{144}{169}}$

解题步骤 2.9

要将 $\frac{25}{144}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{169}{169}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{144} \cdot \frac{169}{169} + \frac{144}{169}}$

解题步骤 2.10

要将 $\frac{144}{169}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{144}{144}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{144} \cdot \frac{169}{169} + \frac{144}{169} \cdot \frac{144}{144}}$

解题步骤 2.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $24336$ 的形式。

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解题步骤 2.11.1

将 $\frac{25}{144}$ 乘以 $\frac{169}{169}$ 。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169}{144 \cdot 169} + \frac{144}{169} \cdot \frac{144}{144}}$

解题步骤 2.11.2

将 $144$ 乘以 $169$ 。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169}{24336} + \frac{144}{169} \cdot \frac{144}{144}}$

解题步骤 2.11.3

将 $\frac{144}{169}$ 乘以 $\frac{144}{144}$ 。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169}{24336} + \frac{144 \cdot 144}{169 \cdot 144}}$

解题步骤 2.11.4

将 $169$ 乘以 $144$ 。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169}{24336} + \frac{144 \cdot 144}{24336}}$

解题步骤 2.12

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 169 + 144 \cdot 144}{24336}}$

解题步骤 2.13

化简分子。

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解题步骤 2.13.1

将 $25$ 乘以 $169$ 。

$\sqrt{\frac{4225 + 144 \cdot 144}{24336}}$

解题步骤 2.13.2

将 $144$ 乘以 $144$ 。

$\sqrt{\frac{4225 + 20736}{24336}}$

解题步骤 2.13.3

将 $4225$ 和 $20736$ 相加。

$\sqrt{\frac{24961}{24336}}$

解题步骤 2.14

将 $\sqrt{\frac{24961}{24336}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24336}}$ 。

$\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24336}}$

解题步骤 2.15

化简分母。

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解题步骤 2.15.1

将 $24336$ 重写为 $156^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{156^{2}}}$

解题步骤 2.15.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{24961}}{156}$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{- \frac{5}{12}}{\frac{\sqrt{24961}}{156}}$ 。

$\frac{- \frac{5}{12}}{\frac{\sqrt{24961}}{156}}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (θ) = - \frac{5}{12} \cdot \frac{156}{\sqrt{24961}}$

解题步骤 4.2

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

将 $- \frac{5}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$\cos (θ) = \frac{- 5}{12} \cdot \frac{156}{\sqrt{24961}}$

解题步骤 4.2.2

从 $156$ 中分解出因数 $12$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 5}{12} \cdot \frac{12 (13)}{\sqrt{24961}}$

解题步骤 4.2.3

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{- 5}{12} \cdot \frac{12 \cdot 13}{\sqrt{24961}}$

解题步骤 4.2.4

重写表达式。

$\cos (θ) = - 5 \frac{13}{\sqrt{24961}}$

解题步骤 4.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{13}{\sqrt{24961}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 5 \cdot 13}{\sqrt{24961}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $- 5$ 乘以 $13$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 65}{\sqrt{24961}}$

解题步骤 4.4.2

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{65}{\sqrt{24961}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{65}{\sqrt{24961}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24961}}$ 。

$\cos (θ) = - (\frac{65}{\sqrt{24961}} \cdot \frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24961}})$

解题步骤 4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{65}{\sqrt{24961}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{24961}}{\sqrt{24961}}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{\sqrt{24961} \sqrt{24961}}$

解题步骤 4.6.2

对 $\sqrt{24961}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{\sqrt{24961} \sqrt{24961}}$

解题步骤 4.6.3

对 $\sqrt{24961}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{\sqrt{24961} \sqrt{24961}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{{\sqrt{24961}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{{\sqrt{24961}}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

将 ${\sqrt{24961}}^{2}$ 重写为 $24961$ 。

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解题步骤 4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{24961}$ 重写成 $24961^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{{(24961^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961}$

解题步骤 4.6.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = - \frac{65 \sqrt{24961}}{24961} \approx - 0.41141712$

三角学 示例

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