三角学示例

$(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{5}{8}, 0)$ 和 $(\frac{5}{8}, - \sqrt{\frac{39}{8}})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \sqrt{\frac{39}{8}}$

邻边： $\frac{5}{8}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{5}{8}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{5^{2}}{8^{2}} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{8^{2}} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \sqrt{\frac{39}{8}})}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $\sqrt{\frac{39}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{39}}{\sqrt{8}}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{8}})}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简分母。

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解题步骤 2.5.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.5.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{4 (2)}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

从根式下提出各项。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- (\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}^{2}}$

解题步骤 2.7

合并和化简分母。

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解题步骤 2.7.1

将 $\frac{\sqrt{39}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}^{2}}$

解题步骤 2.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})}^{2}}$

解题步骤 2.7.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})}^{2}}$

解题步骤 2.7.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.7.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})}^{2}}$

解题步骤 2.7.7.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简分子。

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解题步骤 2.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{39 \cdot 2}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $39$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{78}}{2 \cdot 2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- \frac{\sqrt{78}}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.10.1

对 $- \frac{\sqrt{78}}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{78}}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.10.2

对 $\frac{\sqrt{78}}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{25}{64} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{64} + 1 \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.11.2

将 $\frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{{\sqrt{78}}^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.12

将 ${\sqrt{78}}^{2}$ 重写为 $78$ 。

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解题步骤 2.12.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{78}$ 重写成 $78^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{{(78^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.12.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.12.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.12.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.12.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78^{1}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.12.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78}{4^{2}}}$

解题步骤 2.13

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{78}{16}}$

解题步骤 2.14

约去 $78$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.14.1

从 $78$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 (39)}{16}}$

解题步骤 2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 2.14.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 8}}$

解题步骤 2.14.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{2 \cdot 39}{2 \cdot 8}}$

解题步骤 2.14.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39}{8}}$

解题步骤 2.15

要将 $\frac{39}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39}{8} \cdot \frac{8}{8}}$

解题步骤 2.16

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $64$ 的形式。

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解题步骤 2.16.1

将 $\frac{39}{8}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39 \cdot 8}{8 \cdot 8}}$

解题步骤 2.16.2

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{\frac{25}{64} + \frac{39 \cdot 8}{64}}$

解题步骤 2.17

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{25 + 39 \cdot 8}{64}}$

解题步骤 2.18

化简分子。

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解题步骤 2.18.1

将 $39$ 乘以 $8$ 。

$\sqrt{\frac{25 + 312}{64}}$

解题步骤 2.18.2

将 $25$ 和 $312$ 相加。

$\sqrt{\frac{337}{64}}$

解题步骤 2.19

将 $\sqrt{\frac{337}{64}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{64}}$ 。

$\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{64}}$

解题步骤 2.20

化简分母。

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解题步骤 2.20.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{8^{2}}}$

解题步骤 2.20.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{337}}{8}$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{337}}{8}}$ 。

$\frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{337}}{8}}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (θ) = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{337}}$

解题步骤 4.2

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{337}}$

解题步骤 4.2.2

重写表达式。

$\cos (θ) = 5 (\frac{1}{\sqrt{337}})$

解题步骤 4.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{\sqrt{337}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{337}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{5}{\sqrt{337}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{5}{\sqrt{337}} \cdot \frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$

解题步骤 4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{5}{\sqrt{337}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{337}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

解题步骤 4.5.2

对 $\sqrt{337}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

解题步骤 4.5.3

对 $\sqrt{337}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{\sqrt{337} \sqrt{337}}$

解题步骤 4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{\sqrt{337}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{\sqrt{337}}^{2}}$

解题步骤 4.5.6

将 ${\sqrt{337}}^{2}$ 重写为 $337$ 。

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解题步骤 4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{337}$ 重写成 $337^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{{(337^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337}$

解题步骤 4.5.6.5

计算指数。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = \frac{5 \sqrt{337}}{337} \approx 0.27236735$

三角学 示例

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