三角学示例

$(- 2, \frac{3}{4} p)$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- 2, \frac{3}{4} p)$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- 2, 0)$ 和 $(- 2, \frac{3}{4} p)$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{3}{4} p$

邻边： $- 2$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + {(\frac{3}{4} p)}^{2}}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $p$ 。

$\sqrt{4 + {(\frac{3 p}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.3.1

对 $\frac{3 p}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{4 + \frac{{(3 p)}^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.3.2

对 $3 p$ 运用乘积法则。

$\sqrt{4 + \frac{3^{2} p^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + \frac{9 p^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + \frac{9 p^{2}}{16}}$

解题步骤 2.6

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{4 \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 p^{2}}{16}}$

解题步骤 2.7

组合 $4$ 和 $\frac{16}{16}$ 。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{9 p^{2}}{16}}$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 16 + 9 p^{2}}{16}}$

解题步骤 2.9

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$\sqrt{\frac{64 + 9 p^{2}}{16}}$

解题步骤 2.10

将 $\frac{64 + 9 p^{2}}{16}$ 重写为 ${(\frac{1}{4})}^{2} (64 + 9 p^{2})$ 。

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解题步骤 2.10.1

从 $64 + 9 p^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{16}}$

解题步骤 2.10.2

从 $16$ 中因式分解出完全幂数 $4^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{4^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 2.10.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (64 + 9 p^{2})}{4^{2} \cdot 1}$ 。

$\sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} (64 + 9 p^{2})}$

解题步骤 2.11

从根式下提出各项。

$\frac{1}{4} \sqrt{64 + 9 p^{2}}$

解题步骤 2.12

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{\frac{3}{4} p}{\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}}$ 。

$\frac{\frac{3}{4} p}{\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{4}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (θ) = \frac{3}{4} \cdot (p (\frac{4}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}))$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $p$ 。

$\sin (θ) = \frac{3 p}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

解题步骤 4.3

合并。

$\sin (θ) = \frac{3 p \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

解题步骤 4.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{3 p \cdot 4}{4 \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

解题步骤 4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{3 p}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

解题步骤 4.6.2

对 $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

解题步骤 4.6.3

对 $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{\sqrt{64 + 9 p^{2}} \sqrt{64 + 9 p^{2}}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

将 ${\sqrt{64 + 9 p^{2}}}^{2}$ 重写为 $64 + 9 p^{2}$ 。

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解题步骤 4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{64 + 9 p^{2}}$ 重写成 ${(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{({(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{{(64 + 9 p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$

解题步骤 4.6.6.5

化简。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}} \approx \frac{3 p \sqrt{64 + 9 p^{2}}}{64 + 9 p^{2}}$

三角学 示例

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