三角学示例

$(1, - \frac{π}{4})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(1, - \frac{π}{4})$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(1, 0)$ 和 $(1, - \frac{π}{4})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{π}{4}$

邻边： $1$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + {(- \frac{π}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.2.1

对 $- \frac{π}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{π}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对 $\frac{π}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 + 1 \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{π^{2}}{4^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 + \frac{π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{\frac{16}{16} + \frac{π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{16 + π^{2}}{16}}$

解题步骤 2.8

将 $\sqrt{\frac{16 + π^{2}}{16}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$ 。

$\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 2.9

化简分母。

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解题步骤 2.9.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 2.9.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{4}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{- \frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{4}}$ 。

$\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{4}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (θ) = - \frac{π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

解题步骤 4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

将 $- \frac{π}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\sin (θ) = \frac{- π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{- π}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\sin (θ) = - π \frac{1}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ 和 $π$ 。

$\sin (θ) = - \frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$

解题步骤 4.4

将 $\frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ 。

$\sin (θ) = - (\frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}})$

解题步骤 4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.5.1

将 $\frac{π}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

解题步骤 4.5.2

对 $\sqrt{16 + π^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

解题步骤 4.5.3

对 $\sqrt{16 + π^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{\sqrt{16 + π^{2}} \sqrt{16 + π^{2}}}$

解题步骤 4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{\sqrt{16 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{\sqrt{16 + π^{2}}}^{2}}$

解题步骤 4.5.6

将 ${\sqrt{16 + π^{2}}}^{2}$ 重写为 $16 + π^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{16 + π^{2}}$ 重写成 ${(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{({(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{{(16 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.5.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}}$

解题步骤 4.5.6.5

化简。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = - \frac{π \sqrt{16 + π^{2}}}{16 + π^{2}} \approx - 0.61766782$

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